Глава IV. §3. Прямоугольные треугольники — с. 80
271. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.
Прямоугольные треугольники OAC (∠A = 90°) и OBC (∠B = 90°) имеют общую гипотенузу OC и равные катеты OA = OB. Следовательно, они равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠AOC = ∠BOC, то есть луч OC — биссектриса угла O.
272. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, высоты AH и BK (H ∈ BC, K ∈ AC) равны высотам A1H1 и B1K1: AH = A1H1, BK = B1K1. Треугольники остроугольные, поэтому основания высот лежат на сторонах.
Прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 имеют равные гипотенузы AB = A1B1 и равные катеты AH = A1H1, поэтому равны, откуда ∠B = ∠ABH = ∠A1B1H1 = ∠B1. Аналогично прямоугольные треугольники ABK и A1B1K1 равны по гипотенузе и катету, откуда ∠A = ∠A1.
Теперь треугольники ABC и A1B1C1 имеют AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, поэтому равны по второму признаку.
Прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 имеют равные гипотенузы AB = A1B1 и равные катеты AH = A1H1, поэтому равны, откуда ∠B = ∠ABH = ∠A1B1H1 = ∠B1. Аналогично прямоугольные треугольники ABK и A1B1K1 равны по гипотенузе и катету, откуда ∠A = ∠A1.
Теперь треугольники ABC и A1B1C1 имеют AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, поэтому равны по второму признаку.
273. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
Утверждение: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠C = ∠C1 = 90°, BC = B1C1 и ∠A = ∠A1 (угол A лежит против катета BC, угол A1 против B1C1). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, ∠B = 90° − ∠A = 90° − ∠A1 = ∠B1. Тогда катет BC = B1C1 и прилежащие к нему углы ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1, поэтому треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠C = ∠C1 = 90°, BC = B1C1 и ∠A = ∠A1 (угол A лежит против катета BC, угол A1 против B1C1). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, ∠B = 90° − ∠A = 90° − ∠A1 = ∠B1. Тогда катет BC = B1C1 и прилежащие к нему углы ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1, поэтому треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).
274. Докажите, что △ABС = △А1В1С1, если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 и ВH = В1H1, где ВH и В1H1 — высоты △ABC и △A1B1C1 соответственно.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 (BH ⊥ AC, B1H1 ⊥ A1C1). Так как ∠A = ∠A1, углы A и A1 одновременно острые, прямые или тупые. Если они острые, то H и H1 лежат на лучах AC и A1C1, и острые углы BAH и B1A1H1 равны ∠A и ∠A1. Если они тупые, то H и H1 лежат на продолжениях сторон, и ∠BAH = 180° − ∠A = 180° − ∠A1 = ∠B1A1H1. Если углы прямые, то H = A и H1 = A1 и BH = AB, B1H1 = A1B1. Во всех случаях получаем, что катеты BH = B1H1 и противолежащие им острые углы при вершинах A и A1 равны.
По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (задача 273) △ABH = △A1B1H1, откуда AB = A1B1. Тогда в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, и они равны по второму признаку.
По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (задача 273) △ABH = △A1B1H1, откуда AB = A1B1. Тогда в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, и они равны по второму признаку.
275. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
Построение.
1) Строим биссектрису OM данного угла с вершиной O (дуга с центром O пересекает стороны в двух точках; из этих точек проводим дуги равных радиусов, они пересекаются в точке M; луч OM — биссектриса).
2) Через точку A проводим прямую l, перпендикулярную биссектрисе OM (из точки A циркулем делаем засечки на OM, из них равными радиусами строим точки пересечения дуг и проводим через них прямую; либо строим перпендикуляр к прямой через данную точку).
3) Пусть l пересекает стороны угла в точках P и Q. Прямая l — искомая.
Доказательство. Пусть K — точка пересечения l и OM. Прямоугольные треугольники OKP и OKQ имеют общий катет OK и равные острые углы при вершине O (OM — биссектриса), поэтому они равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, OP = OQ.
Исследование. Так как точка A лежит внутри угла, перпендикуляр к биссектрисе через A пересекает обе стороны, и задача имеет единственное решение (прямая, перпендикулярная биссектрисе, через A единственна).
1) Строим биссектрису OM данного угла с вершиной O (дуга с центром O пересекает стороны в двух точках; из этих точек проводим дуги равных радиусов, они пересекаются в точке M; луч OM — биссектриса).
2) Через точку A проводим прямую l, перпендикулярную биссектрисе OM (из точки A циркулем делаем засечки на OM, из них равными радиусами строим точки пересечения дуг и проводим через них прямую; либо строим перпендикуляр к прямой через данную точку).
3) Пусть l пересекает стороны угла в точках P и Q. Прямая l — искомая.
Доказательство. Пусть K — точка пересечения l и OM. Прямоугольные треугольники OKP и OKQ имеют общий катет OK и равные острые углы при вершине O (OM — биссектриса), поэтому они равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, OP = OQ.
Исследование. Так как точка A лежит внутри угла, перпендикуляр к биссектрисе через A пересекает обе стороны, и задача имеет единственное решение (прямая, перпендикулярная биссектрисе, через A единственна).
276. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен 5 см. Найдите медиану этого треугольника, проведённую к гипотенузе.
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза равна 2·5 = 10 см. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: 10 : 2 = 5 см.
Ответ: 5 см.
Ответ: 5 см.
277. Две вершины треугольника являются концами диаметра окружности, а третья вершина лежит на окружности. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Пусть AB — диаметр окружности с центром O, C — точка окружности, отличная от A и B. Тогда O — середина AB, а OC — радиус, поэтому OC = AB/2. Отрезок CO — медиана треугольника ABC, проведённая к стороне AB, и она равна половине этой стороны. Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный (признак прямоугольного треугольника, п. 35), и прямой угол при вершине C, из которой проведена медиана. Значит, ∠C = 90°.
278. К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом 15° проведены медиана СМ и высота CH. Найдите АВ, если CH = 4.
Пусть ∠A = 15° (случай ∠B = 15° разбирается так же), ∠C = 90°. Медиана CM к гипотенузе равна половине гипотенузы: CM = AM = MB. Значит, треугольник AMC равнобедренный и ∠MCA = ∠A = 15°. Угол CMB — внешний угол треугольника AMC, поэтому ∠CMB = 15° + 15° = 30°. В прямоугольном треугольнике CHM (∠H = 90°) угол M равен 30°, поэтому катет CH, лежащий против него, равен половине гипотенузы CM: CM = 2·CH = 8. Тогда AB = 2·CM = 16.
Ответ: AB = 16.
Ответ: AB = 16.