Глава IV. §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника — с. 75
252. На рисунке 136 AB = АС, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему. [рисунок 136: равнобедренный треугольник ABC с основанием BC; P на AB, Q на AC; отрезки BQ и CP пересекаются в точке O]
а) Треугольники ABQ и ACP равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AQ = AP, угол A общий. Значит, ∠ABQ = ∠ACP. Так как AB = AC, ∠ABC = ∠ACB. Тогда ∠OBC = ∠ABC − ∠ABQ = ∠ACB − ∠ACP = ∠OCB. В треугольнике BOC два угла равны, поэтому он равнобедренный: OB = OC.
б) Треугольники ABO и ACO равны по трём сторонам: AB = AC, OB = OC, AO — общая сторона. Значит, ∠BAO = ∠CAO, то есть AO — биссектриса угла A равнобедренного треугольника ABC, проведённая к основанию. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Поэтому прямая OA проходит через середину BC и перпендикулярна BC.
б) Треугольники ABO и ACO равны по трём сторонам: AB = AC, OB = OC, AO — общая сторона. Значит, ∠BAO = ∠CAO, то есть AO — биссектриса угла A равнобедренного треугольника ABC, проведённая к основанию. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Поэтому прямая OA проходит через середину BC и перпендикулярна BC.
253. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
Треугольник существует, только если каждая сторона меньше суммы двух других.
а) 1 + 2 = 3, то есть наибольшая сторона 3 м не меньше суммы двух других (3 = 1 + 2). Неравенство треугольника не выполнено, такого треугольника нет.
б) 1,2 + 1 = 2,2 < 2,4. Наибольшая сторона больше суммы двух других, такого треугольника нет.
Ответ: а) нет; б) нет.
а) 1 + 2 = 3, то есть наибольшая сторона 3 м не меньше суммы двух других (3 = 1 + 2). Неравенство треугольника не выполнено, такого треугольника нет.
б) 1,2 + 1 = 2,2 < 2,4. Наибольшая сторона больше суммы двух других, такого треугольника нет.
Ответ: а) нет; б) нет.
254. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?
Возможны два случая.
1) Основание 25 см, боковые стороны по 10 см: 10 + 10 = 20 < 25, неравенство треугольника нарушено, такого треугольника нет.
2) Основание 10 см, боковые стороны по 25 см: 25 + 10 > 25 и 25 + 25 > 10, треугольник существует.
Ответ: основанием является сторона 10 см.
1) Основание 25 см, боковые стороны по 10 см: 10 + 10 = 20 < 25, неравенство треугольника нарушено, такого треугольника нет.
2) Основание 10 см, боковые стороны по 25 см: 25 + 10 > 25 и 25 + 25 > 10, треугольник существует.
Ответ: основанием является сторона 10 см.
255. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.
Неизвестная сторона равна одной из данных, так как треугольник равнобедренный. Проверяем неравенство треугольника.
а) Стороны 7, 7, 3: 7 + 3 > 7, 7 + 7 > 3 — подходит. Стороны 3, 3, 7: 3 + 3 = 6 < 7 — не подходит. Ответ: 7 см.
б) Стороны 8, 8, 2 подходят; стороны 2, 2, 8: 2 + 2 < 8 — не подходят. Ответ: 8 см.
в) Стороны 10, 10, 5 подходят; стороны 5, 5, 10: 5 + 5 = 10, не подходят. Ответ: 10 см.
а) Стороны 7, 7, 3: 7 + 3 > 7, 7 + 7 > 3 — подходит. Стороны 3, 3, 7: 3 + 3 = 6 < 7 — не подходит. Ответ: 7 см.
б) Стороны 8, 8, 2 подходят; стороны 2, 2, 8: 2 + 2 < 8 — не подходят. Ответ: 8 см.
в) Стороны 10, 10, 5 подходят; стороны 5, 5, 10: 5 + 5 = 10, не подходят. Ответ: 10 см.
256. Докажите неравенство о длине ломаной. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Пусть ломаная A1A2…An состоит из звеньев A1A2, A2A3, …, A(n−1)An. Докажем, что A1A2 + A2A3 + … + A(n−1)An ≥ A1An, индукцией по числу звеньев.
Для одного звена утверждение очевидно (равенство). Для двух звеньев это неравенство треугольника (A1A3 ≤ A1A2 + A2A3, равенство, если A2 лежит на отрезке A1A3).
Пусть утверждение верно для ломаной из k звеньев. Для ломаной A1…A(k+2) из k + 1 звена: A1A(k+2) ≤ A1A(k+1) + A(k+1)A(k+2) по неравенству треугольника, а A1A(k+1) не больше суммы первых k звеньев по предположению. Складывая, получаем, что A1A(k+2) не больше суммы всех k + 1 звеньев. Утверждение доказано.
Для одного звена утверждение очевидно (равенство). Для двух звеньев это неравенство треугольника (A1A3 ≤ A1A2 + A2A3, равенство, если A2 лежит на отрезке A1A3).
Пусть утверждение верно для ломаной из k звеньев. Для ломаной A1…A(k+2) из k + 1 звена: A1A(k+2) ≤ A1A(k+1) + A(k+1)A(k+2) по неравенству треугольника, а A1A(k+1) не больше суммы первых k звеньев по предположению. Складывая, получаем, что A1A(k+2) не больше суммы всех k + 1 звеньев. Утверждение доказано.
257. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
Если два внешних угла при разных вершинах равны, то равны и смежные с ними внутренние углы (каждый равен 180° минус внешний угол). Значит, в треугольнике два угла равны, он равнобедренный, и равны стороны, лежащие против этих углов.
Если бы сторона 16 см была боковой, то боковые стороны были бы 16 см и 16 см, а основание 74 − 32 = 42 см. Но 16 + 16 < 42, такого треугольника нет. Значит, 16 см — основание, а боковые стороны равны (74 − 16) : 2 = 29 см. Проверка: 29 + 16 > 29, треугольник существует.
Ответ: 29 см и 29 см.
Если бы сторона 16 см была боковой, то боковые стороны были бы 16 см и 16 см, а основание 74 − 32 = 42 см. Но 16 + 16 < 42, такого треугольника нет. Значит, 16 см — основание, а боковые стороны равны (74 − 16) : 2 = 29 см. Проверка: 29 + 16 > 29, треугольник существует.
Ответ: 29 см и 29 см.
258. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.
Если внешний угол острый, то смежный с ним внутренний угол тупой. В равнобедренном треугольнике углы при основании острые, поэтому тупой угол — при вершине, а значит, основание — наибольшая сторона (против большего угла лежит большая сторона).
Разность двух (различных) сторон равна 4 см: основание b и боковая сторона c, b − c = 4 см. Периметр: 2c + b = 25 см, 2c + c + 4 = 25, 3c = 21, c = 7 см, b = 11 см. Проверка: 7 + 7 = 14 > 11, треугольник существует.
Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.
Разность двух (различных) сторон равна 4 см: основание b и боковая сторона c, b − c = 4 см. Периметр: 2c + b = 25 см, 2c + c + 4 = 25, 3c = 21, c = 7 см, b = 11 см. Проверка: 7 + 7 = 14 > 11, треугольник существует.
Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.