Глава IV. §1. Сумма углов треугольника — с. 71
228. Найдите угол С треугольника ABC, если: a) ∠A = 65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B = 130°; в) ∠A = α, ∠B = 2α; г) ∠A = 60° + α, ∠B = 60° − α.
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠C = 180° − ∠A − ∠B.
а) ∠C = 180° − 65° − 57° = 58°.
б) ∠C = 180° − 24° − 130° = 26°.
в) ∠C = 180° − α − 2α = 180° − 3α.
г) ∠C = 180° − (60° + α) − (60° − α) = 60°.
Ответ: а) 58°; б) 26°; в) 180° − 3α; г) 60°.
а) ∠C = 180° − 65° − 57° = 58°.
б) ∠C = 180° − 24° − 130° = 26°.
в) ∠C = 180° − α − 2α = 180° − 3α.
г) ∠C = 180° − (60° + α) − (60° − α) = 60°.
Ответ: а) 58°; б) 26°; в) 180° − 3α; г) 60°.
229. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4.
Пусть ∠A = 2x, ∠B = 3x, ∠C = 4x. По теореме о сумме углов треугольника 2x + 3x + 4x = 180°, откуда 9x = 180°, x = 20°.
Тогда ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.
Ответ: 40°, 60°, 80°.
Тогда ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.
Ответ: 40°, 60°, 80°.
230. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Пусть в треугольнике ABC AB = BC = CA. Так как AB = AC, треугольник равнобедренный с основанием BC, и ∠B = ∠C. Так как AB = BC, треугольник равнобедренный с основанием AC, и ∠A = ∠C. Значит, ∠A = ∠B = ∠C. По теореме о сумме углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то есть 3∠A = 180°, ∠A = 60°. Следовательно, каждый угол равен 60°.
231. Докажите, что: а) углы при основании равнобедренного треугольника острые; б) внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны: ∠A = ∠C = α, а ∠B = β.
а) 2α + β = 180°, β > 0, поэтому 2α < 180° и α < 90°. Значит, углы при основании острые.
б) Внешний угол при вершине A (или C) смежный с углом α, поэтому равен 180° − α. Так как α < 90°, то 180° − α > 90°, то есть внешний угол тупой.
а) 2α + β = 180°, β > 0, поэтому 2α < 180° и α < 90°. Значит, углы при основании острые.
б) Внешний угол при вершине A (или C) смежный с углом α, поэтому равен 180° − α. Так как α < 90°, то 180° − α > 90°, то есть внешний угол тупой.
232. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
а) Пусть угол, противолежащий основанию, равен x, тогда каждый угол при основании равен 2x. Сумма: x + 2x + 2x = 180°, 5x = 180°, x = 36°. Углы: 36°, 72°, 72°.
б) Пусть угол при основании равен α. Смежный с ним внешний угол равен 180° − α и по условию в 3 раза больше α: 180° − α = 3α, 4α = 180°, α = 45°. Угол при вершине 180° − 2·45° = 90°. Углы: 45°, 45°, 90°.
Ответ: а) 36°, 72°, 72°; б) 45°, 45°, 90°.
б) Пусть угол при основании равен α. Смежный с ним внешний угол равен 180° − α и по условию в 3 раза больше α: 180° − α = 3α, 4α = 180°, α = 45°. Угол при вершине 180° − 2·45° = 90°. Углы: 45°, 45°, 90°.
Ответ: а) 36°, 72°, 72°; б) 45°, 45°, 90°.
233. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
а) Угол 40° может быть углом при основании или углом при вершине. Если он при основании, то второй угол при основании тоже 40°, а угол при вершине 180° − 80° = 100°. Если он при вершине, то углы при основании равны (180° − 40°) : 2 = 70°. Ответ: 40°, 40°, 100° или 70°, 70°, 40°.
б) Если 60° при основании, то второй угол при основании 60° и угол при вершине 180° − 120° = 60°. Если 60° при вершине, то углы при основании (180° − 60°) : 2 = 60°. В обоих случаях треугольник равносторонний: 60°, 60°, 60°.
в) Угол 100° тупой, поэтому он не может быть углом при основании (два угла по 100° дали бы сумму больше 180°). Значит, это угол при вершине, а углы при основании (180° − 100°) : 2 = 40°. Ответ: 100°, 40°, 40°.
б) Если 60° при основании, то второй угол при основании 60° и угол при вершине 180° − 120° = 60°. Если 60° при вершине, то углы при основании (180° − 60°) : 2 = 60°. В обоих случаях треугольник равносторонний: 60°, 60°, 60°.
в) Угол 100° тупой, поэтому он не может быть углом при основании (два угла по 100° дали бы сумму больше 180°). Значит, это угол при вершине, а углы при основании (180° − 100°) : 2 = 40°. Ответ: 100°, 40°, 40°.
234. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C = 50°.
Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, ∠A = ∠C = 50°. AD — биссектриса, поэтому ∠DAC = 50° : 2 = 25°. В треугольнике ADC: ∠ADC = 180° − ∠DAC − ∠C = 180° − 25° − 50° = 105°.
Ответ: 105°.
Ответ: 105°.
235. Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.
Так как AM и BM — биссектрисы, ∠MAB = 58° : 2 = 29°, ∠MBA = 96° : 2 = 48°. В треугольнике AMB: ∠AMB = 180° − 29° − 48° = 103°.
Ответ: 103°.
Ответ: 103°.
236. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Так как AM — медиана, BM = MC = BC/2, а по условию AM = BC/2. Значит, AM = BM = MC.
Треугольник AMB равнобедренный (AM = BM), поэтому ∠BAM = ∠B. Треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), поэтому ∠CAM = ∠C. Луч AM лежит внутри угла A (M — точка стороны BC), поэтому ∠A = ∠BAM + ∠CAM = ∠B + ∠C.
По теореме о сумме углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то есть 2∠A = 180°, ∠A = 90°. Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом A.
Треугольник AMB равнобедренный (AM = BM), поэтому ∠BAM = ∠B. Треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), поэтому ∠CAM = ∠C. Луч AM лежит внутри угла A (M — точка стороны BC), поэтому ∠A = ∠BAM + ∠CAM = ∠B + ∠C.
По теореме о сумме углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то есть 2∠A = 180°, ∠A = 90°. Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом A.
237. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?
Да, верно. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны α. Рассмотрим внешний угол при вершине B. Он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть ∠A + ∠C = α + α = 2α. Угол A (как и угол C), не смежный с этим внешним углом, равен α. Значит, этот внешний угол в 2 раза больше угла A.
Ответ: да.
Ответ: да.
238. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, ∠A = ∠C = α. На продолжении стороны AB за точку B отметим точку K; ∠CBK — внешний угол при вершине B. Он равен сумме двух не смежных с ним углов: ∠CBK = ∠A + ∠C = 2α. Пусть BD — биссектриса угла CBK, тогда ∠KBD = α = ∠A.
Углы KBD и A — соответственные при прямых BD и AC и секущей AK. Они равны, поэтому BD ∥ AC.
Углы KBD и A — соответственные при прямых BD и AC и секущей AK. Они равны, поэтому BD ∥ AC.
239. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
Внешний угол 115° смежен с внутренним углом 180° − 115° = 65°. Рассмотрим два случая.
1) Внутренний угол 65° — угол при основании. Тогда второй угол при основании тоже 65°, а угол при вершине 180° − 130° = 50°.
2) Внутренний угол 65° — угол при вершине. Тогда углы при основании (180° − 65°) : 2 = 57,5° = 57°30′.
Ответ: 65°, 65°, 50° или 57°30′, 57°30′, 65°.
1) Внутренний угол 65° — угол при основании. Тогда второй угол при основании тоже 65°, а угол при вершине 180° − 130° = 50°.
2) Внутренний угол 65° — угол при вершине. Тогда углы при основании (180° − 65°) : 2 = 57,5° = 57°30′.
Ответ: 65°, 65°, 50° или 57°30′, 57°30′, 65°.
240. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.
Пусть ∠A = ∠C = α. Тогда ∠DAC = α/2. Угол ADB — внешний угол треугольника ADC при вершине D, поэтому он равен сумме двух не смежных с ним углов: ∠ADB = ∠DAC + ∠C = α/2 + α = 3α/2.
Из 3α/2 = 110° получаем α = 220°/3 = 73°20′. Тогда ∠B = 180° − 2·73°20′ = 180° − 146°40′ = 33°20′.
Ответ: ∠A = ∠C = 73°20′, ∠B = 33°20′.
Из 3α/2 = 110° получаем α = 220°/3 = 73°20′. Тогда ∠B = 180° − 2·73°20′ = 180° − 146°40′ = 33°20′.
Ответ: ∠A = ∠C = 73°20′, ∠B = 33°20′.