Глава IV. §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника — с. 74
241. Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) AB > ВС > АС; б) AB = АС < ВС.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
а) AB > BC > AC. Против AB лежит ∠C, против BC — ∠A, против AC — ∠B. Значит, ∠C > ∠A > ∠B. Если бы угол A был тупым, то больший его угол C тоже был бы тупым, а два тупых угла в треугольнике быть не могут. Поэтому угол A тупым быть не может.
б) AB = AC < BC. Против BC лежит ∠A, против AB лежит ∠C, против AC лежит ∠B. Значит, ∠B = ∠C < ∠A, то есть угол A — наибольший. Он может быть тупым: например, при ∠A = 100° и ∠B = ∠C = 40° сторона BC действительно больше AB = AC. Ответ: а) ∠C > ∠A > ∠B, тупым быть не может; б) ∠B = ∠C < ∠A, может.
а) AB > BC > AC. Против AB лежит ∠C, против BC — ∠A, против AC — ∠B. Значит, ∠C > ∠A > ∠B. Если бы угол A был тупым, то больший его угол C тоже был бы тупым, а два тупых угла в треугольнике быть не могут. Поэтому угол A тупым быть не может.
б) AB = AC < BC. Против BC лежит ∠A, против AB лежит ∠C, против AC лежит ∠B. Значит, ∠B = ∠C < ∠A, то есть угол A — наибольший. Он может быть тупым: например, при ∠A = 100° и ∠B = ∠C = 40° сторона BC действительно больше AB = AC. Ответ: а) ∠C > ∠A > ∠B, тупым быть не может; б) ∠B = ∠C < ∠A, может.
242. Сравните стороны треугольника ABC, если: a) ∠A > ∠B > ∠C; б) ∠A > ∠B = ∠C.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
а) Против ∠A лежит BC, против ∠B лежит AC, против ∠C лежит AB. Из ∠A > ∠B > ∠C получаем BC > AC > AB.
б) Из ∠A > ∠B = ∠C получаем BC > AC = AB (равные углы B и C — против равных сторон AC и AB).
а) Против ∠A лежит BC, против ∠B лежит AC, против ∠C лежит AB. Из ∠A > ∠B > ∠C получаем BC > AC > AB.
б) Из ∠A > ∠B = ∠C получаем BC > AC = AB (равные углы B и C — против равных сторон AC и AB).
243. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC (AB = BC, ∠A = ∠C), D — точка основания, отличная от A и C. Докажем, что BD < AB (аналогично BD < BC, ведь AB = BC).
Угол BDA — внешний угол треугольника BDC при вершине D, поэтому ∠BDA = ∠C + ∠DBC > ∠C = ∠A. В треугольнике ABD угол BDA больше угла A. Против большего угла лежит большая сторона: против ∠BDA лежит AB, против ∠A лежит BD. Значит, AB > BD, что и требовалось доказать. (Для середины основания D утверждение получается так же.)
Угол BDA — внешний угол треугольника BDC при вершине D, поэтому ∠BDA = ∠C + ∠DBC > ∠C = ∠A. В треугольнике ABD угол BDA больше угла A. Против большего угла лежит большая сторона: против ∠BDA лежит AB, против ∠A лежит BD. Значит, AB > BD, что и требовалось доказать. (Для середины основания D утверждение получается так же.)
244. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
Пусть AM — медиана, AH — высота треугольника ABC, проведённые из вершины A, причём H — основание перпендикуляра из A на прямую BC. Если M совпадает с H, то AM = AH. Если M не совпадает с H, то AM — наклонная к прямой BC, а AH — перпендикуляр, проведённый из той же точки. Перпендикуляр меньше любой наклонной (в прямоугольном треугольнике AHM катет AH меньше гипотенузы AM), значит, AH < AM. В обоих случаях AM ≥ AH.
245. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны: ∠A = ∠C. Так как AO и CO — биссектрисы, ∠OAC = ∠A/2 и ∠OCA = ∠C/2, поэтому ∠OAC = ∠OCA. В треугольнике AOC два угла равны, значит, он равнобедренный (признак равнобедренного треугольника), OA = OC.
246. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны AB и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.
Боковые стороны — AB и AC, значит, основание — BC, и ∠B = ∠C. Прямая MN ∥ BC. Углы AMN и B — соответственные при параллельных прямых MN и BC и секущей AB, поэтому ∠AMN = ∠B. Аналогично ∠ANM = ∠C (секущая AC). Так как ∠B = ∠C, то ∠AMN = ∠ANM. В треугольнике AMN два угла равны, поэтому он равнобедренный: AM = AN.
247. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
Пусть BD — биссектриса внешнего угла CBK при вершине B треугольника ABC (K лежит на продолжении AB за точку B), и BD ∥ AC (биссектриса не может быть параллельна стороне, проходящей через B, поэтому речь о стороне AC).
Углы KBD и A — соответственные при параллельных BD и AC и секущей AK, поэтому ∠KBD = ∠A. Углы DBC и C — накрест лежащие при тех же параллельных и секущей BC, поэтому ∠DBC = ∠C. Так как BD — биссектриса, ∠KBD = ∠DBC. Следовательно, ∠A = ∠C, и треугольник ABC равнобедренный с основанием AC (AB = BC).
Углы KBD и A — соответственные при параллельных BD и AC и секущей AK, поэтому ∠KBD = ∠A. Углы DBC и C — накрест лежащие при тех же параллельных и секущей BC, поэтому ∠DBC = ∠C. Так как BD — биссектриса, ∠KBD = ∠DBC. Следовательно, ∠A = ∠C, и треугольник ABC равнобедренный с основанием AC (AB = BC).
248. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1 и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC = AD.
Пусть ∠BAA1 = ∠A1AC = α (AA1 — биссектриса). Прямая CD параллельна AA1; она пересекает прямую AB в точке D, лежащей на продолжении BA за точку A.
Углы ADC и BAA1 — соответственные при параллельных DC и AA1 и секущей DB, поэтому ∠ADC = α. Углы ACD и A1AC — накрест лежащие при тех же параллельных и секущей AC, поэтому ∠ACD = α. В треугольнике ACD ∠ADC = ∠ACD, значит, он равнобедренный и AC = AD.
Углы ADC и BAA1 — соответственные при параллельных DC и AA1 и секущей DB, поэтому ∠ADC = α. Углы ACD и A1AC — накрест лежащие при тех же параллельных и секущей AC, поэтому ∠ACD = α. В треугольнике ACD ∠ADC = ∠ACD, значит, он равнобедренный и AC = AD.
249. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону AB в точке Е. Докажите, что треугольник ADE равнобедренный.
Так как DE ∥ AC, углы EDA и DAC равны как накрест лежащие при параллельных DE и AC и секущей AD. AD — биссектриса, поэтому ∠DAC = ∠EAD. Значит, ∠EDA = ∠EAD. В треугольнике ADE равны углы при стороне AD, следовательно, он равнобедренный: EA = ED.
250. Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и CC1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.
Пусть O — точка пересечения биссектрис BB1 и CC1, прямая MN проходит через O и MN ∥ BC.
Углы MOB и OBC равны как накрест лежащие при параллельных MN и BC и секущей BO. Угол OBC равен углу MBO, так как BO — биссектриса. Значит, ∠MOB = ∠MBO, и треугольник MBO равнобедренный: MB = MO. Аналогично ∠NOC = ∠OCB = ∠NCO, значит, NC = NO.
Точка O лежит на отрезке MN, поэтому MN = MO + ON = BM + CN, что и требовалось доказать.
Углы MOB и OBC равны как накрест лежащие при параллельных MN и BC и секущей BO. Угол OBC равен углу MBO, так как BO — биссектриса. Значит, ∠MOB = ∠MBO, и треугольник MBO равнобедренный: MB = MO. Аналогично ∠NOC = ∠OCB = ∠NCO, значит, NC = NO.
Точка O лежит на отрезке MN, поэтому MN = MO + ON = BM + CN, что и требовалось доказать.
251. На рисунке 135 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника ABC, ОE || AB, OD || AC. Докажите, что периметр △EDO равен длине отрезка ВС. [рисунок 135: треугольник ABC, внутри точка O — пересечение биссектрис BO и CO; точки E и D лежат на стороне BC (порядок B, E, D, C), OE ∥ AB, OD ∥ AC]
Так как OE ∥ AB, углы EOB и OBA равны как накрест лежащие при секущей BO. Угол OBA равен углу OBE (BO — биссектриса). Значит, ∠EOB = ∠EBO, треугольник BEO равнобедренный: EO = EB.
Аналогично из OD ∥ AC и того, что CO — биссектриса, получаем ∠DOC = ∠OCA = ∠OCD, поэтому DO = DC.
Периметр треугольника EDO равен EO + ED + DO = BE + ED + DC. Точки E и D лежат на стороне BC, поэтому BE + ED + DC = BC. Периметр треугольника EDO равен BC.
Аналогично из OD ∥ AC и того, что CO — биссектриса, получаем ∠DOC = ∠OCA = ∠OCD, поэтому DO = DC.
Периметр треугольника EDO равен EO + ED + DO = BE + ED + DC. Точки E и D лежат на стороне BC, поэтому BE + ED + DC = BC. Периметр треугольника EDO равен BC.