Глава III. §2. Аксиома параллельных прямых. Вопросы для повторения и дополнительные задачи к главе III — с. 68
Вопрос 17. Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.
Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
Доказательство. Пусть OA ⊥ O1A1, OB ⊥ O1B1. Если угол AOB развёрнутый или прямой, то и угол A1O1B1 развёрнутый или прямой, и углы равны. Пусть ∠AOB < 180° и O не лежит на прямых O1A1, O1B1 (остальные случаи разбираются аналогично).
1) ∠AOB < 90°. Проведём луч OC так, чтобы OC ⊥ OA, точки B и C лежат по разные стороны от OA; проведём луч OD так, чтобы OD ⊥ OB, точки C и D лежат по одну сторону от OA. Тогда ∠AOB = 90° − ∠AOD и ∠COD = 90° − ∠AOD, то есть ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD параллельны сторонам угла A1O1B1 (две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны), поэтому по теореме об углах с параллельными сторонами ∠COD = ∠A1O1B1 или ∠COD + ∠A1O1B1 = 180°. Следовательно, ∠AOB = ∠A1O1B1 или ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°.
2) ∠AOB > 90°. Проведём луч OC так, чтобы угол AOC был смежным с углом AOB. Угол AOC острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла A1O1B1; по случаю 1) ∠AOC = ∠A1O1B1 или ∠AOC + ∠A1O1B1 = 180°. В первом случае ∠AOB = 180° − ∠AOC = 180° − ∠A1O1B1, то есть ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°. Во втором ∠AOB = 180° − ∠AOC = ∠A1O1B1.
Доказательство. Пусть OA ⊥ O1A1, OB ⊥ O1B1. Если угол AOB развёрнутый или прямой, то и угол A1O1B1 развёрнутый или прямой, и углы равны. Пусть ∠AOB < 180° и O не лежит на прямых O1A1, O1B1 (остальные случаи разбираются аналогично).
1) ∠AOB < 90°. Проведём луч OC так, чтобы OC ⊥ OA, точки B и C лежат по разные стороны от OA; проведём луч OD так, чтобы OD ⊥ OB, точки C и D лежат по одну сторону от OA. Тогда ∠AOB = 90° − ∠AOD и ∠COD = 90° − ∠AOD, то есть ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD параллельны сторонам угла A1O1B1 (две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны), поэтому по теореме об углах с параллельными сторонами ∠COD = ∠A1O1B1 или ∠COD + ∠A1O1B1 = 180°. Следовательно, ∠AOB = ∠A1O1B1 или ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°.
2) ∠AOB > 90°. Проведём луч OC так, чтобы угол AOC был смежным с углом AOB. Угол AOC острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла A1O1B1; по случаю 1) ∠AOC = ∠A1O1B1 или ∠AOC + ∠A1O1B1 = 180°. В первом случае ∠AOB = 180° − ∠AOC = 180° − ∠A1O1B1, то есть ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°. Во втором ∠AOB = 180° − ∠AOC = ∠A1O1B1.
218. На рисунке 128 CE = ED, BE = EF и KE ∥ AF. Докажите, что KE ∥ ВС. [рисунок 128: трапеция-подобный четырёхугольник ABCD, BC вверху, AD внизу; точка E на CD — середина; F на продолжении AD; B, E, F на одной прямой; K на AB, KE ∥ AF]
Треугольники BCE и FDE равны по двум сторонам и углу между ними: CE = DE, BE = FE, ∠BEC = ∠FED (вертикальные).
Отсюда ∠CBE = ∠DFE. Это накрест лежащие углы при прямых BC и AF и секущей BF. Значит, BC ∥ AF.
По условию KE ∥ AF. Две прямые, параллельные третьей, параллельны, следовательно, KE ∥ BC.
Отсюда ∠CBE = ∠DFE. Это накрест лежащие углы при прямых BC и AF и секущей BF. Значит, BC ∥ AF.
По условию KE ∥ AF. Две прямые, параллельные третьей, параллельны, следовательно, KE ∥ BC.
219. Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD ∥ AB.
Пусть O — середина AD, MO ⊥ AD. Прямоугольные треугольники AOM и DOM равны по двум катетам (AO = DO, MO общий). Поэтому MA = MD, и треугольник AMD равнобедренный: ∠MDA = ∠MAD.
AD — биссектриса: ∠MAD = ∠DAB. Значит, ∠MDA = ∠DAB.
Углы MDA и DAB накрест лежащие при прямых MD и AB и секущей AD (точки M и B лежат по разные стороны от AD). Следовательно, MD ∥ AB.
AD — биссектриса: ∠MAD = ∠DAB. Значит, ∠MDA = ∠DAB.
Углы MDA и DAB накрест лежащие при прямых MD и AB и секущей AD (точки M и B лежат по разные стороны от AD). Следовательно, MD ∥ AB.
220. По данным рисунка 129, а найдите угол 1. [рисунок 129, а: две параллельные горизонтальные прямые a и b и две пересекающие их прямые c и d, сходящиеся вверху в вершине; угол 1 — угол при пересечении a и d внутри верхнего треугольника; 65° — угол при пересечении a и c слева снизу; 115° — угол при b и c справа снизу; 121° — угол при b и d справа сверху]
Сначала докажем, что a ∥ b. При секущей c угол между прямой a и нижней частью c слева равен 65°, а угол при b, лежащий справа от c под b, равен 115°; тогда смежный с ним угол слева под b равен 180° − 115° = 65°. Соответственные углы (65° и 65°) равны, поэтому a ∥ b.
Теперь рассмотрим секущую d. При b угол 121° — угол между правой частью b и верхней частью d, смежный ему угол между левой частью b и верхней частью d равен 180° − 121° = 59°.
∠1 — соответственный этому углу при параллельных a и b (оба расположены слева от d, выше прямой). Значит, ∠1 = 59°.
Ответ: 59°.
Оговорка: расположение углов 65°, 115°, 121° прочитано по рисунку.
Теперь рассмотрим секущую d. При b угол 121° — угол между правой частью b и верхней частью d, смежный ему угол между левой частью b и верхней частью d равен 180° − 121° = 59°.
∠1 — соответственный этому углу при параллельных a и b (оба расположены слева от d, выше прямой). Значит, ∠1 = 59°.
Ответ: 59°.
Оговорка: расположение углов 65°, 115°, 121° прочитано по рисунку.
221. На рисунке 129, б DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE. [рисунок 129, б: параллельные прямые AE и DF; секущая через A; углы 78° и 102° при секущей; проведены AD и DE; угол между DA и частью прямой DF слева от D равен 48°]
Прямые AE и DF параллельны: при секущей, проходящей через A, соответственные углы 78° (при AE, слева снизу) и 180° − 102° = 78° (при DF) равны.
Угол между лучом DA и лучом прямой DF, идущим влево от D, равен 48°. Угол ADF смежен с ним: ∠ADF = 180° − 48° = 132°.
DE — биссектриса: ∠ADE = ∠EDF = 132° : 2 = 66°.
∠DAE и угол 48° накрест лежащие при AE ∥ DF и секущей AD: ∠DAE = 48°.
В треугольнике ADE: ∠AED = 180° − 48° − 66° = 66°. (Проверка: ∠AED = ∠EDF = 66° как накрест лежащие.)
Ответ: ∠A = 48°, ∠D = 66°, ∠E = 66°.
Оговорка: расположение углов 78°, 102°, 48° и равенство дуг у DE прочитаны по рисунку.
Угол между лучом DA и лучом прямой DF, идущим влево от D, равен 48°. Угол ADF смежен с ним: ∠ADF = 180° − 48° = 132°.
DE — биссектриса: ∠ADE = ∠EDF = 132° : 2 = 66°.
∠DAE и угол 48° накрест лежащие при AE ∥ DF и секущей AD: ∠DAE = 48°.
В треугольнике ADE: ∠AED = 180° − 48° − 66° = 66°. (Проверка: ∠AED = ∠EDF = 66° как накрест лежащие.)
Ответ: ∠A = 48°, ∠D = 66°, ∠E = 66°.
Оговорка: расположение углов 78°, 102°, 48° и равенство дуг у DE прочитаны по рисунку.
222. Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.
Так как a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b (две прямые, параллельные третьей, параллельны). Пусть прямая d пересекает a. Допустим, что d не пересекает b. Тогда через точку пересечения d и a проходят две прямые (a и d), параллельные b, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, d пересекает b.
223. Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b?
Ответ обоснуйте.
Да, можно. Возьмём на прямой a точку M, не лежащую на b (такая точка есть, так как a и b пересекаются только в одной точке). По аксиоме параллельных прямых (существование показано в п. 28) через M проходит прямая c, параллельная b. Прямая c не совпадает с a, потому что a пересекает b, а c нет; значит, c пересекает a в точке M.
Ответ: да.
Ответ: да.
224*. Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.
Доказательство от противного. Пусть a и b не параллельны, то есть пересекаются в точке O. Возьмём на a точку M ≠ O. Через M проведём прямую c, параллельную b (она существует). Прямая c пересекает a в точке M (c ≠ a, так как a пересекает b, а c нет). По условию c должна пересекать и b, но c ∥ b. Противоречие. Значит, a ∥ b.
225. Докажите, что если при пересечении двух прямых a и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются.
Допустим, что a и b не пересекаются, то есть a ∥ b. Тогда по теореме о параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны. Это противоречит условию. Значит, прямые a и b пересекаются.
226. Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.
Пусть P — середина AC и BM, Q — середина AB и CN.
Треугольники APM и CPB равны по двум сторонам и углу между ними: AP = CP, MP = BP, ∠APM = ∠CPB (вертикальные). Отсюда ∠PAM = ∠PCB. Это накрест лежащие углы при прямых AM и BC и секущей AC, поэтому AM ∥ BC.
Аналогично треугольники AQN и BQC равны (AQ = BQ, NQ = CQ, вертикальные углы при Q), поэтому ∠QAN = ∠QBC, и AN ∥ BC (секущая AB).
Через точку A проходят две прямые AM и AN, параллельные BC. По аксиоме параллельных прямых они совпадают. Значит, M, N и A лежат на одной прямой.
Треугольники APM и CPB равны по двум сторонам и углу между ними: AP = CP, MP = BP, ∠APM = ∠CPB (вертикальные). Отсюда ∠PAM = ∠PCB. Это накрест лежащие углы при прямых AM и BC и секущей AC, поэтому AM ∥ BC.
Аналогично треугольники AQN и BQC равны (AQ = BQ, NQ = CQ, вертикальные углы при Q), поэтому ∠QAN = ∠QBC, и AN ∥ BC (секущая AB).
Через точку A проходят две прямые AM и AN, параллельные BC. По аксиоме параллельных прямых они совпадают. Значит, M, N и A лежат на одной прямой.
227. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а.
Построение:
1. Отметим на прямой a произвольную точку B и проведём окружность с центром B радиуса BA. Она пересекает прямую a в точке C.
2. Проведём окружность с центром A радиуса AB и окружность с центром C того же радиуса AB. Они пересекаются в точке B и ещё в одной точке D (она лежит по ту же сторону от прямой a, что и A).
3. Проведём прямую AD. Это искомая прямая.
Доказательство. AB = BC = CD = DA = R (радиусы окружностей). Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = DA, AC общая. Отсюда ∠BCA = ∠DAC. Точки B и D лежат по разные стороны от AC (они симметричны относительно прямой AC, так как являются точками пересечения двух окружностей равного радиуса с центрами A и C). Значит, ∠BCA и ∠DAC накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC, и они равны. Следовательно, AD ∥ BC, то есть AD ∥ a.
Исследование: окружности с центрами A и C радиуса AB пересекаются, так как AC < AB + BC = 2R. Построение выполнимо всегда.
1. Отметим на прямой a произвольную точку B и проведём окружность с центром B радиуса BA. Она пересекает прямую a в точке C.
2. Проведём окружность с центром A радиуса AB и окружность с центром C того же радиуса AB. Они пересекаются в точке B и ещё в одной точке D (она лежит по ту же сторону от прямой a, что и A).
3. Проведём прямую AD. Это искомая прямая.
Доказательство. AB = BC = CD = DA = R (радиусы окружностей). Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = DA, AC общая. Отсюда ∠BCA = ∠DAC. Точки B и D лежат по разные стороны от AC (они симметричны относительно прямой AC, так как являются точками пересечения двух окружностей равного радиуса с центрами A и C). Значит, ∠BCA и ∠DAC накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC, и они равны. Следовательно, AD ∥ BC, то есть AD ∥ a.
Исследование: окружности с центрами A и C радиуса AB пересекаются, так как AC < AB + BC = 2R. Построение выполнимо всегда.