Глава III. §2. Аксиома параллельных прямых. Вопросы для повторения и дополнительные задачи к главе III — с. 66
204. Прямая р параллельна стороне AB треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
Прямая BC пересекает прямую AB в точке B, а прямая AC пересекает AB в точке A. Прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую (следствие из аксиомы параллельных прямых). Так как р ∥ AB, прямые BC и AC пересекают и прямую р.
205. На рисунке 123 AD ∥ p и PQ ∥ BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые AB, АЕ, АС, ВС и PQ. [рисунок 123: треугольник ABC, на стороне BC точки D и E; P на AB, Q на AC, PQ ∥ BC; проведены AD и AE; отдельно дана прямая p ∥ AD]
Прямая р параллельна прямой AD. Всякая прямая, пересекающая AD, пересекает и р.
Прямые AB, AE и AC проходят через точку A прямой AD и отличны от AD, значит, они пересекают AD, а потому пересекают р. Прямая BC пересекает AD в точке D, поэтому тоже пересекает р.
Прямая PQ параллельна BC. Мы доказали, что р пересекает BC; по тому же следствию р пересекает и параллельную ей прямую PQ.
Прямые AB, AE и AC проходят через точку A прямой AD и отличны от AD, значит, они пересекают AD, а потому пересекают р. Прямая BC пересекает AD в точке D, поэтому тоже пересекает р.
Прямая PQ параллельна BC. Мы доказали, что р пересекает BC; по тому же следствию р пересекает и параллельную ей прямую PQ.
206. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.
При параллельных прямых накрест лежащие углы равны. Пусть каждый равен x, тогда 2x = 210°, x = 105°.
Ответ: 105° и 105°.
Ответ: 105° и 105°.
207. На рисунке 124 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны? [рисунок 124: три прямые a, b, c и секущая d; угол 1 — угол при a между левой частью a и нижней частью d; углы 2 и 3 — верхние левые углы при b и c]
Приведём все углы к одному расположению: нижний левый угол между d и соответствующей прямой.
При прямой a он равен ∠1 = 42°.
При прямой b он смежен с углом 2, значит, равен 180° − 140° = 40°.
При прямой c он смежен с углом 3, значит, равен 180° − 138° = 42°.
Для a и c соответственные углы равны (42° = 42°), поэтому a ∥ c. Для a и b соответственные углы не равны (42° ≠ 40°), поэтому a и b не параллельны; для b и c тоже (40° ≠ 42°).
Ответ: параллельны прямые a и c.
Оговорка: расположение углов 1, 2, 3 прочитано по рисунку (дуги около углов).
При прямой a он равен ∠1 = 42°.
При прямой b он смежен с углом 2, значит, равен 180° − 140° = 40°.
При прямой c он смежен с углом 3, значит, равен 180° − 138° = 42°.
Для a и c соответственные углы равны (42° = 42°), поэтому a ∥ c. Для a и b соответственные углы не равны (42° ≠ 40°), поэтому a и b не параллельны; для b и c тоже (40° ≠ 42°).
Ответ: параллельны прямые a и c.
Оговорка: расположение углов 1, 2, 3 прочитано по рисунку (дуги около углов).
208. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
При пересечении параллельных прямых секущей образуются восемь углов: четыре равны одному углу, четыре — смежному с ним (накрест лежащие, соответственные и вертикальные углы равны, односторонние дают в сумме 180°).
а) Один угол 150°, смежный с ним 180° − 150° = 30°. Ответ: четыре угла по 150° и четыре угла по 30°.
б) Из двух различных значений одно на 70° больше другого, и они дают в сумме 180° (смежные). Пусть меньший угол x, тогда x + (x + 70°) = 180°, 2x = 110°, x = 55°, больший 125°.
Ответ: четыре угла по 55° и четыре угла по 125°.
а) Один угол 150°, смежный с ним 180° − 150° = 30°. Ответ: четыре угла по 150° и четыре угла по 30°.
б) Из двух различных значений одно на 70° больше другого, и они дают в сумме 180° (смежные). Пусть меньший угол x, тогда x + (x + 70°) = 180°, 2x = 110°, x = 55°, больший 125°.
Ответ: четыре угла по 55° и четыре угла по 125°.
209. Концы отрезка AB лежат на параллельных прямых a и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = OD.
Дано: A ∈ a, B ∈ b, a ∥ b, AO = OB, C ∈ a, D ∈ b, точки C, O, D лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
1) AO = BO (O — середина AB);
2) ∠AOC = ∠BOD (вертикальные);
3) ∠CAO = ∠DBO как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей AB.
Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому CO = DO.
(Если прямая CD совпадает с AB, то C = A, D = B и CO = AO = OB = OD.)
Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
1) AO = BO (O — середина AB);
2) ∠AOC = ∠BOD (вертикальные);
3) ∠CAO = ∠DBO как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей AB.
Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому CO = DO.
(Если прямая CD совпадает с AB, то C = A, D = B и CO = AO = OB = OD.)
210. По данным рисунка 125 найдите ∠1. [рисунок 125: две параллельные прямые и две пересекающие их прямые; слева углы 73° (при верхней прямой) и 107° (при нижней), справа угол 92° при нижней прямой и угол 1 при верхней]
Две горизонтальные прямые параллельны (на это указывает то, что углы 73° и 107° в сумме дают 180°: односторонние углы при левой секущей).
Для правой секущей угол 92° расположен при нижней прямой над ней справа от секущей, а угол 1 — при верхней прямой в таком же положении. Это соответственные углы при параллельных прямых, поэтому они равны.
Ответ: ∠1 = 92°.
Для правой секущей угол 92° расположен при нижней прямой над ней справа от секущей, а угол 1 — при верхней прямой в таком же положении. Это соответственные углы при параллельных прямых, поэтому они равны.
Ответ: ∠1 = 92°.
211. ∠ABC = 70°, а ∠BCD = 110°. Могут ли прямые AB и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
Рассмотрим прямые AB и CD и секущую BC.
а) Пусть точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC. Тогда ∠ABC и ∠BCD — односторонние, и их сумма 70° + 110° = 180°. По признаку параллельности AB ∥ CD. Значит, параллельными прямые быть могут.
б) Пусть точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC. Тогда углы ABC и BCD накрест лежащие и не равны (70° ≠ 110°). Если бы прямые были параллельны, накрест лежащие углы были бы равны. Значит, прямые пересекаются. Значит, пересекающимися они тоже могут быть.
Ответ: а) да; б) да (в зависимости от расположения точек A и D).
а) Пусть точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC. Тогда ∠ABC и ∠BCD — односторонние, и их сумма 70° + 110° = 180°. По признаку параллельности AB ∥ CD. Значит, параллельными прямые быть могут.
б) Пусть точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC. Тогда углы ABC и BCD накрест лежащие и не равны (70° ≠ 110°). Если бы прямые были параллельны, накрест лежащие углы были бы равны. Значит, прямые пересекаются. Значит, пересекающимися они тоже могут быть.
Ответ: а) да; б) да (в зависимости от расположения точек A и D).
212. Ответьте на вопросы задачи 211, если ∠ABC = 65°, а ∠BCD = 105°.
Снова берём секущую BC.
а) Если точки A и D лежат по одну сторону от BC, то углы ABC и BCD односторонние, и 65° + 105° = 170° ≠ 180°. Если бы AB ∥ CD, сумма односторонних углов равнялась бы 180°. Если точки по разные стороны, то накрест лежащие углы 65° и 105° не равны, и опять прямые не параллельны. Итак, параллельными быть не могут.
б) Из пункта а) следует, что в любом расположении прямые AB и CD пересекаются.
Ответ: а) нет; б) да.
а) Если точки A и D лежат по одну сторону от BC, то углы ABC и BCD односторонние, и 65° + 105° = 170° ≠ 180°. Если бы AB ∥ CD, сумма односторонних углов равнялась бы 180°. Если точки по разные стороны, то накрест лежащие углы 65° и 105° не равны, и опять прямые не параллельны. Итак, параллельными быть не могут.
б) Из пункта а) следует, что в любом расположении прямые AB и CD пересекаются.
Ответ: а) нет; б) да.
213. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.
Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°. Пусть углы x и y, x > y: x + y = 180°, x − y = 50°.
Сложим: 2x = 230°, x = 115°, y = 65°.
Ответ: 115° и 65°.
Сложим: 2x = 230°, x = 115°, y = 65°.
Ответ: 115° и 65°.
214. На рисунке 126 а ∥ b, c ∥ d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3. [рисунок 126: параллельные прямые a и b пересечены параллельными прямыми c и d; угол 3 — верхний левый угол при пересечении a и d, угол 4 — верхний правый; угол 1 — нижний правый угол при пересечении a и c, угол 2 — верхний правый угол при пересечении b и d]
∠3 и ∠4 смежные: ∠3 = 180° − 45° = 135°.
∠2 и ∠4 соответственные при параллельных a и b и секущей d: ∠2 = ∠4 = 45°.
Угол 1 лежит при пересечении a и c справа от c под прямой a. Ему соответствует (при c ∥ d и секущей a) нижний правый угол при пересечении a и d. Этот угол вертикален углу 3, поэтому он равен ∠3 = 135°. Соответственные углы равны, значит, ∠1 = 135°.
Ответ: ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°.
∠2 и ∠4 соответственные при параллельных a и b и секущей d: ∠2 = ∠4 = 45°.
Угол 1 лежит при пересечении a и c справа от c под прямой a. Ему соответствует (при c ∥ d и секущей a) нижний правый угол при пересечении a и d. Этот угол вертикален углу 3, поэтому он равен ∠3 = 135°. Соответственные углы равны, значит, ∠1 = 135°.
Ответ: ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°.
215. Два тела Р1 и Р2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки A и B (рис. 127). Третье тело Р3 подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р1 и Р2. (При этом AP1 ∥ BP2 ∥ CP3.) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP1 + ∠CBP2. [рисунок 127: блоки A и B вверху, нити AP1 и BP2 вертикальны, нити AC и BC сходятся в точке C ниже блоков, от C вертикально вниз нить CP3]
Продолжим луч P3C за точку C до луча CK. Тогда CK ∥ AP1 и CK ∥ BP2 (вертикальные нити параллельны по условию).
Луч CK проходит внутри угла ACB (точки A и B лежат по разные стороны от прямой CK), поэтому ∠ACB = ∠ACK + ∠KCB.
Углы CAP1 и ACK накрест лежащие при параллельных прямых AP1 и CK и секущей AC (точки P1 и K лежат по разные стороны от AC): ∠ACK = ∠CAP1.
Аналогично углы CBP2 и BCK накрест лежащие при параллельных BP2 и CK и секущей BC: ∠KCB = ∠CBP2.
Следовательно, ∠ACB = ∠CAP1 + ∠CBP2.
Луч CK проходит внутри угла ACB (точки A и B лежат по разные стороны от прямой CK), поэтому ∠ACB = ∠ACK + ∠KCB.
Углы CAP1 и ACK накрест лежащие при параллельных прямых AP1 и CK и секущей AC (точки P1 и K лежат по разные стороны от AC): ∠ACK = ∠CAP1.
Аналогично углы CBP2 и BCK накрест лежащие при параллельных BP2 и CK и секущей BC: ∠KCB = ∠CBP2.
Следовательно, ∠ACB = ∠CAP1 + ∠CBP2.