Глава III. §1. Признаки параллельности двух прямых — с. 57
191. На рисунке 111 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a ∥ b, если: а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°; б) ∠1 = ∠6; в) ∠1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3. [рисунок 111: прямые a и b, секущая c; углы 1, 2, 4, 3 при пересечении с a (1 — верхний левый, 2 — верхний правый, 4 — нижний левый, 3 — нижний правый); углы 8, 5, 7, 6 при пересечении с b расположены так же]
Углы на рисунке: при прямой a это 1 (вверху слева), 2 (вверху справа), 4 (внизу слева), 3 (внизу справа); при прямой b это 8 (вверху слева), 5 (вверху справа), 7 (внизу слева), 6 (внизу справа). Значит, ∠1 и ∠8 соответственные, а ∠1 и ∠3, ∠8 и ∠6 вертикальные.
а) Углы 7 и 8 смежные, поэтому ∠8 = 180° − 143° = 37°. Тогда ∠1 = ∠8 = 37°; это соответственные углы при секущей c, значит, a ∥ b.
б) Углы 6 и 8 вертикальные, поэтому ∠8 = ∠6. По условию ∠1 = ∠6, следовательно, ∠1 = ∠8. Это соответственные углы, поэтому a ∥ b.
в) Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому ∠3 = ∠1 = 45°. Тогда ∠7 = 3 · 45° = 135°. Углы 7 и 8 смежные, значит, ∠8 = 180° − 135° = 45° = ∠1. Соответственные углы 1 и 8 равны, следовательно, a ∥ b.
а) Углы 7 и 8 смежные, поэтому ∠8 = 180° − 143° = 37°. Тогда ∠1 = ∠8 = 37°; это соответственные углы при секущей c, значит, a ∥ b.
б) Углы 6 и 8 вертикальные, поэтому ∠8 = ∠6. По условию ∠1 = ∠6, следовательно, ∠1 = ∠8. Это соответственные углы, поэтому a ∥ b.
в) Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому ∠3 = ∠1 = 45°. Тогда ∠7 = 3 · 45° = 135°. Углы 7 и 8 смежные, значит, ∠8 = 180° − 135° = 45° = ∠1. Соответственные углы 1 и 8 равны, следовательно, a ∥ b.
192. По данным рисунка 112 докажите, что AB ∥ DE. [рисунок 112: точки A, C, E лежат на одной прямой, точки B, C, D лежат на одной прямой; AB = BC, CD = DE]
Дано: AB = BC, CD = DE; A, C, E и B, C, D лежат на одной прямой.
Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), поэтому углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
Углы BCA и DCE вертикальные, значит, ∠BCA = ∠DCE.
Треугольник CDE равнобедренный (CD = DE), поэтому ∠DCE = ∠DEC.
Из этих равенств ∠BAC = ∠DEC. Это накрест лежащие углы при прямых AB и DE и секущей AE (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AE). Следовательно, AB ∥ DE.
Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), поэтому углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
Углы BCA и DCE вертикальные, значит, ∠BCA = ∠DCE.
Треугольник CDE равнобедренный (CD = DE), поэтому ∠DCE = ∠DEC.
Из этих равенств ∠BAC = ∠DEC. Это накрест лежащие углы при прямых AB и DE и секущей AE (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AE). Следовательно, AB ∥ DE.
193. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
Пусть O — общая середина отрезков AB и CD: AO = OB, CO = OD.
Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними: AO = BO, CO = DO, ∠AOC = ∠BOD (вертикальные).
Из равенства треугольников ∠CAO = ∠DBO. Это накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей AB. Значит, AC ∥ BD.
Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними: AO = BO, CO = DO, ∠AOC = ∠BOD (вертикальные).
Из равенства треугольников ∠CAO = ∠DBO. Это накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей AB. Значит, AC ∥ BD.
194. Используя данные рисунка 113, докажите, что ВС ∥ AD. [рисунок 113: четырёхугольник ABCD с диагональю AC; AB = BC, угол BAC равен углу CAD]
Дано: AB = BC, ∠BAC = ∠CAD.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BCA = ∠BAC.
По условию ∠BAC = ∠CAD, значит, ∠BCA = ∠CAD.
Углы BCA и CAD накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC (точки B и D лежат по разные стороны от AC). Они равны, следовательно, BC ∥ AD.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BCA = ∠BAC.
По условию ∠BAC = ∠CAD, значит, ∠BCA = ∠CAD.
Углы BCA и CAD накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC (точки B и D лежат по разные стороны от AC). Они равны, следовательно, BC ∥ AD.
195. На рисунке 114 AB = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE ∥ AC. [рисунок 114: треугольник ABC, точка D на стороне AB, точка E на стороне BC, проведены DE и AE]
Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), поэтому ∠BAC = ∠C = 70°.
Так как ∠EAC = 35°, луч AE лежит внутри угла BAC и ∠DAE = ∠BAC − ∠EAC = 70° − 35° = 35°.
Треугольник ADE равнобедренный (AD = DE), поэтому ∠DEA = ∠DAE = 35°.
Итак, ∠DEA = ∠EAC = 35°. Это накрест лежащие углы при прямых DE и AC и секущей AE. Следовательно, DE ∥ AC.
Так как ∠EAC = 35°, луч AE лежит внутри угла BAC и ∠DAE = ∠BAC − ∠EAC = 70° − 35° = 35°.
Треугольник ADE равнобедренный (AD = DE), поэтому ∠DEA = ∠DAE = 35°.
Итак, ∠DEA = ∠EAC = 35°. Это накрест лежащие углы при прямых DE и AC и секущей AE. Следовательно, DE ∥ AC.
196. Отрезок ВK — биссектриса треугольника ABC. Через точку K проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МK. Докажите, что прямые KМ и AB параллельны.
Так как BM = MK, треугольник BMK равнобедренный, и ∠MKB = ∠MBK.
BK — биссектриса, поэтому ∠MBK = ∠KBA. Значит, ∠MKB = ∠KBA.
Это накрест лежащие углы при прямых KM и AB и секущей BK (точки M и A лежат по разные стороны от прямой BK). Следовательно, KM ∥ AB.
BK — биссектриса, поэтому ∠MBK = ∠KBA. Значит, ∠MKB = ∠KBA.
Это накрест лежащие углы при прямых KM и AB и секущей BK (точки M и A лежат по разные стороны от прямой BK). Следовательно, KM ∥ AB.
197. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.
Точка E лежит на продолжении стороны AC за точку C. Пусть CF — биссектриса угла BCE, тогда ∠ECF = 80° : 2 = 40°.
Угол BAC = 40° (прямая AE — секущая для прямых AB и CF). Углы BAE и FCE соответственные: ∠BAE = 40° = ∠FCE (точки B и F лежат по одну сторону от прямой AE).
Равенство соответственных углов означает, что CF ∥ AB.
Угол BAC = 40° (прямая AE — секущая для прямых AB и CF). Углы BAE и FCE соответственные: ∠BAE = 40° = ∠FCE (точки B и F лежат по одну сторону от прямой AE).
Равенство соответственных углов означает, что CF ∥ AB.
198. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
Так как луч BC — биссектриса угла ABD, то ∠ABD = 2 · ∠ABC = 2 · 70° = 140°, и точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB.
При прямых AC и BD и секущей AB сумма односторонних углов: ∠BAC + ∠ABD = 40° + 140° = 180°.
Значит, AC ∥ BD.
При прямых AC и BD и секущей AB сумма односторонних углов: ∠BAC + ∠ABD = 40° + 140° = 180°.
Значит, AC ∥ BD.
199. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.
Построение (для треугольника ABC):
1. Приложим к стороне BC чертёжный угольник одной из сторон, а к другой стороне угольника приложим линейку.
2. Удерживая линейку, сдвигаем угольник вдоль неё, пока его сторона не пройдёт через вершину A. Проводим через A прямую вдоль этой стороны угольника.
3. Аналогично через вершину B проводим прямую, параллельную AC, а через вершину C — прямую, параллельную AB.
Обоснование: при сдвиге угольника вдоль линейки соответственные углы, образованные его стороной и линейкой, равны, поэтому проведённая прямая параллельна стороне, к которой угольник прикладывали первоначально.
Результат: три прямые образуют новый большой треугольник, в котором вершины A, B, C являются серединами сторон (рисунок).
1. Приложим к стороне BC чертёжный угольник одной из сторон, а к другой стороне угольника приложим линейку.
2. Удерживая линейку, сдвигаем угольник вдоль неё, пока его сторона не пройдёт через вершину A. Проводим через A прямую вдоль этой стороны угольника.
3. Аналогично через вершину B проводим прямую, параллельную AC, а через вершину C — прямую, параллельную AB.
Обоснование: при сдвиге угольника вдоль линейки соответственные углы, образованные его стороной и линейкой, равны, поэтому проведённая прямая параллельна стороне, к которой угольник прикладывали первоначально.
Результат: три прямые образуют новый большой треугольник, в котором вершины A, B, C являются серединами сторон (рисунок).
200. Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертёжного треугольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.
Построение:
1. Чертим треугольник ABC и отмечаем точку D на стороне AC.
2. Прикладываем чертёжный треугольник одной стороной к AB, а к другой его стороне — линейку. Сдвигаем треугольник вдоль линейки до тех пор, пока его сторона не пройдёт через точку D, и проводим через D прямую. Она пересекает BC в точке E, и DE ∥ AB.
3. Так же, приложив треугольник к стороне BC, проводим через D прямую, параллельную BC. Она пересекает AB в точке F, и DF ∥ BC.
Обоснование: при передвижении треугольника вдоль линейки соответственные углы, которые сторона треугольника образует с линейкой, остаются равными, поэтому проведённые прямые параллельны соответствующим сторонам (признак параллельности по соответственным углам).
1. Чертим треугольник ABC и отмечаем точку D на стороне AC.
2. Прикладываем чертёжный треугольник одной стороной к AB, а к другой его стороне — линейку. Сдвигаем треугольник вдоль линейки до тех пор, пока его сторона не пройдёт через точку D, и проводим через D прямую. Она пересекает BC в точке E, и DE ∥ AB.
3. Так же, приложив треугольник к стороне BC, проводим через D прямую, параллельную BC. Она пересекает AB в точке F, и DF ∥ BC.
Обоснование: при передвижении треугольника вдоль линейки соответственные углы, которые сторона треугольника образует с линейкой, остаются равными, поэтому проведённые прямые параллельны соответствующим сторонам (признак параллельности по соответственным углам).