Глава III. §2. Аксиома параллельных прямых. Вопросы для повторения и дополнительные задачи к главе III — с. 65
201. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне AB, можно провести через вершину С?
Вершина C не лежит на прямой AB. По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Ответ: одну прямую.
Ответ: одну прямую.
202. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р?
Рассмотрите все возможные случаи.
Через данную точку по аксиоме параллельных прямых проходит не более одной прямой, параллельной р. Поэтому среди четырёх различных прямых либо ни одна не параллельна р, либо ровно одна параллельна р.
1) Если ни одна из прямых не параллельна р, то все четыре пересекают р.
2) Если одна из прямых параллельна р, то остальные три пересекают р.
Ответ: три или четыре прямые.
1) Если ни одна из прямых не параллельна р, то все четыре пересекают р.
2) Если одна из прямых параллельна р, то остальные три пересекают р.
Ответ: три или четыре прямые.
203. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
Прямые а и b перпендикулярны к одной прямой р, поэтому они параллельны (два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются).
Прямая с пересекает одну из двух параллельных прямых (а), а значит, пересекает и другую: если бы с не пересекала b, то через точку пересечения с и а проходили бы две прямые (а и с), параллельные b, что противоречит аксиоме параллельных прямых.
Ответ: да, пересекает.
Прямая с пересекает одну из двух параллельных прямых (а), а значит, пересекает и другую: если бы с не пересекала b, то через точку пересечения с и а проходили бы две прямые (а и с), параллельные b, что противоречит аксиоме параллельных прямых.
Ответ: да, пересекает.