Упражнения 216–217 — Глава III. §2. Аксиома параллельных прямых…

Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c в точках M и N.
а) Накрест лежащие углы при a ∥ b равны. Пусть MP и NQ — биссектрисы накрест лежащих углов (P и Q по разные стороны от c). Половины равных углов равны: ∠PMN = ∠QNM. Эти углы накрест лежащие при прямых MP и NQ и секущей MN, поэтому MP ∥ NQ.
б) Односторонние углы при a ∥ b в сумме дают 180°. Пусть MP и NQ — биссектрисы односторонних углов (P и Q по одну сторону от c). Тогда ∠PMN + ∠QNM = 180° : 2 = 90°. Так как эта сумма меньше 180°, прямые MP и NQ не параллельны (иначе сумма односторонних углов была бы 180°) и пересекаются в некоторой точке O. В треугольнике MON ∠MON = 180° − (∠PMN + ∠QNM) = 180° − 90° = 90°. Значит, биссектрисы перпендикулярны.

Так как угол B тупой, высота BB1 падает на сторону AC (основание B1 лежит между A и C), а основание A1 высоты из A лежит на продолжении стороны CB за точку B. Точка H — пересечение прямых AA1 и BB1, она лежит на продолжении BB1 за точку B, а также на луче AA1.
В прямоугольном треугольнике AA1C (∠A1 = 90°) ∠CAA1 = 90° − 20° = 70°. Луч AC совпадает с лучом AB1, а луч AA1 с лучом AH, поэтому ∠B1AH = 70°.
В прямоугольном треугольнике AB1H (∠B1 = 90°) ∠AHB1 = 90° − 70° = 20°. Так как точка B лежит на отрезке HB1, ∠AHB = ∠AHB1 = 20°.
Это согласуется и с теоремой об углах с соответственно перпендикулярными сторонами: стороны угла AHB перпендикулярны сторонам угла C, поэтому ∠AHB равен 20° или 180° − 20° = 160°; вычисление выше показывает, что здесь он острый.
Ответ: 20°.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых (аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, луча и прямой, двух лучей).

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках. При этом образуются восемь неразвёрнутых углов. Из них выделяют пары:
накрест лежащие углы (лежат по разные стороны от секущей, между прямыми a и b, не имеют общей стороны на секущей: 3 и 5, 4 и 6 на рисунке 106);
односторонние углы (лежат по одну сторону от секущей между прямыми: 4 и 5, 3 и 6);
соответственные углы (лежат по одну сторону от секущей, один между прямыми, другой вне: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7).

Пусть секущая AB пересекает прямые a и b (A ∈ a, B ∈ b), и накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2.
Если ∠1 = ∠2 = 90°, то a и b перпендикулярны AB и потому параллельны.
Пусть углы не прямые. Пусть O — середина AB. Проведём из O перпендикуляр OH к прямой a. На прямой b отложим от точки B отрезок BH1 = AH (по ту сторону от B, которая соответствует расположению H относительно A) и проведём OH1.
Треугольники OHA и OH1B равны по двум сторонам и углу между ними: AO = BO, AH = BH1, ∠OAH = ∠OBH1 (∠1 = ∠2). Отсюда ∠AOH = ∠BOH1, и значит, точки H, O, H1 лежат на одной прямой (углы при вершине O вертикальные), а также ∠AHO = ∠BH1O = 90°.
Итак, прямые a и b перпендикулярны к одной прямой HH1, поэтому они параллельны.

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c равны соответственные углы 1 и 2. Пусть угол 3 вертикальный углу 2 (он накрест лежащий с углом 1). Вертикальные углы равны: ∠2 = ∠3. Так как ∠1 = ∠2, то ∠1 = ∠3. Углы 1 и 3 накрест лежащие, и они равны, поэтому по признаку параллельности (по накрест лежащим углам) a ∥ b.

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов 1 и 4 равна 180°. Пусть угол 3 смежный с углом 4 и накрест лежащий с углом 1. Тогда ∠3 + ∠4 = 180° (смежные). Сравнивая с ∠1 + ∠4 = 180°, получаем ∠1 = ∠3. Накрест лежащие углы 1 и 3 равны, значит, a ∥ b.

Чертёжный треугольник и линейка: треугольник прикладывают одной стороной к данной прямой a, а к другой его стороне прикладывают линейку; передвигая треугольник вдоль линейки, добиваются, чтобы его сторона прошла через данную точку M, и проводят прямую b. Прямые a и b параллельны, так как соответственные углы, которые сторона треугольника образует с линейкой, равны.
Рейсшина: чертёжная доска с планкой, которая скользит по краю доски, сохраняя направление; все линии, проведённые вдоль планки, параллельны (соответственные углы с краем доски равны).
Малка (два деревянных бруска, скреплённых шарниром): угол между брусками фиксируют, и, передвигая малку вдоль прямой, проводят параллельные линии (столярная разметка).

Аксиомами называются исходные положения геометрии, которые принимаются без доказательства и на основе которых доказываются теоремы.
Примеры: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна; на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один; от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один; аксиома параллельных прямых.

Пусть дана прямая a и точка M не на ней. Проведём через M прямую c, перпендикулярную a (существует перпендикуляр из точки к прямой). Затем проведём через M прямую b, перпендикулярную c. Прямые a и b перпендикулярны одной прямой c, поэтому они параллельны (по признаку параллельности: накрест лежащие углы прямые и равны). Значит, b — искомая прямая.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствием называется утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем.
Доказательство. Пусть a ∥ b, и прямая c пересекает a в точке M. Допустим, что c не пересекает b. Тогда через точку M проходят две прямые (a и c), параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, c пересекает b.

Пусть a ∥ c и b ∥ c. Допустим, что a и b не параллельны, то есть пересекаются в точке M. Тогда через M проходят две прямые (a и b), параллельные прямой c, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, a ∥ b.

В теореме различают условие (то, что дано) и заключение (то, что надо доказать). Теоремой, обратной данной, называется теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.
Примеры. Данная теорема: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Обратная: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны (она верна и доказана в п. 29).
Данная теорема: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (верна).
Обратное утверждение верно не всегда: теорема «вертикальные углы равны», а обратное «равные углы вертикальны» неверно.

Пусть a ∥ b пересечены секущей MN (M ∈ a, N ∈ b), углы 1 и 2 накрест лежащие. Допустим, что ∠1 ≠ ∠2. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы он был накрест лежащим с углом 2 при прямых MP и b и секущей MN. Тогда по признаку параллельности MP ∥ b. Получилось, что через точку M проходят две прямые (a и MP), параллельные b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, допущение неверно, и ∠1 = ∠2.

Пусть a ∥ b, c ⊥ a, то есть ∠1 = 90°. Прямая c пересекает a, значит, пересекает и b. При пересечении параллельных прямых a и b секущей c накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2. Поэтому ∠2 = 90°, то есть c ⊥ b.

Пусть a ∥ b, секущая c.
а) Пусть 1 и 2 — соответственные углы, а угол 3 — накрест лежащий с углом 1 и вертикальный углу 2. Так как a ∥ b, накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠3. Углы 2 и 3 вертикальные: ∠2 = ∠3. Следовательно, ∠1 = ∠2.
б) Пусть 1 и 4 — односторонние углы, а угол 2 — соответственный с углом 1 и смежный с углом 4. По пункту а) ∠1 = ∠2. Углы 2 и 4 смежные: ∠2 + ∠4 = 180°. Значит, ∠1 + ∠4 = 180°.

Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
Доказательство. Пусть OA ∥ O1A1, OB ∥ O1B1. Если угол AOB развёрнутый, то и угол A1O1B1 развёрнутый (лучи, лежащие на параллельных прямых и образующие прямую, дают прямую), и углы равны. Пусть угол AOB неразвёрнутый. Прямая O1B1 пересекает O1A1, а значит, и параллельную ей OA в некоторой точке M. Прямые OB и O1B1 параллельны, секущая OM: один из углов, образованных прямыми O1B1 и OA (угол 1), равен ∠AOB как накрест лежащий. Прямые OA и O1A1 параллельны, секущая O1M: либо ∠1 = ∠A1O1B1 (соответственные или накрест лежащие углы), либо ∠1 + ∠A1O1B1 = 180° (односторонние). Из ∠1 = ∠AOB следует, что либо ∠AOB = ∠A1O1B1, либо ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180°.