Глава II. Дополнительные задачи (продолжение) — с. 51
169. На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 99. Точки D, E, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний. [рисунок 99: D на стороне AC, E на стороне AB, F на стороне BC; AD = BE = CF]
Пусть AB = BC = CA = a и AD = BE = CF = x. Тогда AE = AB − BE = a − x, BF = BC − CF = a − x, CD = AC − AD = a − x, то есть AE = BF = CD. Углы равностороннего треугольника равны: ∠A = ∠B = ∠C.
Треугольники ADE, BEF, CFD: AD = BE = CF = x, AE = BF = CD = a − x, ∠A = ∠B = ∠C (угол между этими сторонами). Значит, они равны по первому признаку, откуда DE = EF = FD. Итак, треугольник DEF равносторонний.
Треугольники ADE, BEF, CFD: AD = BE = CF = x, AE = BF = CD = a − x, ∠A = ∠B = ∠C (угол между этими сторонами). Значит, они равны по первому признаку, откуда DE = EF = FD. Итак, треугольник DEF равносторонний.
170. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки K и K1 так, что АK = ВK1. Докажите, что: а) ОK = ОK1; б) точка О лежит на прямой KK1.
AO = OB, CO = OD (O — общая середина).
а) △AOC = △BOD по первому признаку (AO = BO, CO = DO, ∠AOC = ∠BOD как вертикальные). Отсюда ∠OAC = ∠OBD, то есть ∠OAK = ∠OBK1. В треугольниках AOK и BOK1: AO = BO, AK = BK1, ∠OAK = ∠OBK1. Значит, △AOK = △BOK1 по первому признаку, откуда OK = OK1 и ∠AOK = ∠BOK1.
б) Точки K и K1 лежат по разные стороны от прямой AB (K на AC, K1 на BD, а C и D лежат по разные стороны от прямой AB, так как O между C и D). Так как точки A, O, B лежат на одной прямой, угол ∠KOB = 180° − ∠AOK = 180° − ∠BOK1. Значит, ∠KOB + ∠BOK1 = 180°, то есть углы KOB и BOK1 смежные: лучи OK и OK1 дополняют друг друга до прямой. Следовательно, точки K, O, K1 лежат на одной прямой.
а) △AOC = △BOD по первому признаку (AO = BO, CO = DO, ∠AOC = ∠BOD как вертикальные). Отсюда ∠OAC = ∠OBD, то есть ∠OAK = ∠OBK1. В треугольниках AOK и BOK1: AO = BO, AK = BK1, ∠OAK = ∠OBK1. Значит, △AOK = △BOK1 по первому признаку, откуда OK = OK1 и ∠AOK = ∠BOK1.
б) Точки K и K1 лежат по разные стороны от прямой AB (K на AC, K1 на BD, а C и D лежат по разные стороны от прямой AB, так как O между C и D). Так как точки A, O, B лежат на одной прямой, угол ∠KOB = 180° − ∠AOK = 180° − ∠BOK1. Значит, ∠KOB + ∠BOK1 = 180°, то есть углы KOB и BOK1 смежные: лучи OK и OK1 дополняют друг друга до прямой. Следовательно, точки K, O, K1 лежат на одной прямой.
171. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О, точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.
Как в задаче 170, △AOC = △BOD, поэтому AC = BD, и AM = AC/2 = BD/2 = BN. Значит, на отрезках AC и BD отмечены точки M и N с AM = BN. По задаче 170 OM = ON и точка O лежит на прямой MN, причём лучи OM и ON дополняют друг друга до прямой (так как ∠MOB + ∠BON = 180°, см. решение задачи 170). Значит, точки M и N лежат на прямой по разные стороны от O на равных расстояниях, то есть O — середина отрезка MN.
172. Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 100, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний. [рисунок 100: D лежит на продолжении BA за точку A, E — на продолжении AC за точку C, F — на продолжении CB за точку B; AD = CE = BF]
Пусть AB = BC = CA = a и AD = CE = BF = x. Точка D лежит на продолжении BA за A, поэтому DB = DA + AB = x + a. Аналогично EA = EC + CA = x + a, FC = FB + BC = x + a. Итак, DB = EA = FC = a + x.
Углы: ∠DBF — угол между лучом BD (совпадающим с лучом BA) и лучом BF, дополнительным к лучу BC; он смежный с углом ABC, поэтому ∠DBF = 180° − ∠ABC. Так же ∠FCE = 180° − ∠ACB и ∠EAD = 180° − ∠BAC. Углы A, B, C равностороннего треугольника равны (задача 121), поэтому ∠DBF = ∠FCE = ∠EAD.
Треугольники DBF, FCE, EAD: DB = FC = EA = a + x, BF = CE = AD = x, ∠DBF = ∠FCE = ∠EAD. Значит, они равны по первому признаку, откуда DF = FE = ED. Треугольник DEF равносторонний.
Углы: ∠DBF — угол между лучом BD (совпадающим с лучом BA) и лучом BF, дополнительным к лучу BC; он смежный с углом ABC, поэтому ∠DBF = 180° − ∠ABC. Так же ∠FCE = 180° − ∠ACB и ∠EAD = 180° − ∠BAC. Углы A, B, C равностороннего треугольника равны (задача 121), поэтому ∠DBF = ∠FCE = ∠EAD.
Треугольники DBF, FCE, EAD: DB = FC = EA = a + x, BF = CE = AD = x, ∠DBF = ∠FCE = ∠EAD. Значит, они равны по первому признаку, откуда DF = FE = ED. Треугольник DEF равносторонний.
173. В треугольнике ABC ∠A = 38°, ∠B = 110°, ∠C = 32°. На стороне АС отмечены точки D и E так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD = DA, BE = EC. Найдите угол DBE.
Треугольник ABD равнобедренный (BD = DA), поэтому ∠ABD = ∠A = 38°. Треугольник BEC равнобедренный (BE = EC), поэтому ∠CBE = ∠C = 32°. Точка D лежит на отрезке AE, поэтому порядок точек на AC: A, D, E, C, и лучи BD, BE лежат внутри угла ABC в порядке BA, BD, BE, BC. Тогда ∠DBE = ∠ABC − ∠ABD − ∠CBE = 110° − 38° − 32° = 40°.
Ответ: 40°.
Ответ: 40°.
174. На рисунке 101 ОС = OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что AB = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 101), основанный на этой задаче. [рисунок 101: точки A и B на берегу озера; C лежит на прямой AB за точкой B; O — точка, лежащая на отрезках BE, CD и AF; точки D, E, F лежат на одной прямой, E между D и F]
Доказательство. Треугольники BOC и EOD: OB = OE, OC = OD по условию, ∠BOC = ∠EOD как вертикальные. Значит, △BOC = △EOD по первому признаку, откуда ∠OBC = ∠OED. Точка B лежит между A и C, поэтому углы ABO и OBC смежные: ∠ABO = 180° − ∠OBC. Точка E лежит между D и F, углы FEO и OED смежные: ∠FEO = 180° − ∠OED. Значит, ∠ABO = ∠FEO.
Теперь в треугольниках ABO и FEO: OB = OE, ∠ABO = ∠FEO, ∠AOB = ∠FOE как вертикальные (A, O, F лежат на одной прямой, B, O, E тоже). Значит, △ABO = △FEO по второму признаку, откуда AB = EF.
Способ измерения. На берегу озера отмечены точки A и B; расстояние между ними непосредственно измерить нельзя. Выбираем точку O, из которой видны A и B и до которой можно дойти. На прямой AB за точкой B ставим веху C. Продолжаем BO за точку O и откладываем OE = OB; продолжаем CO за точку O и откладываем OD = OC. Через D и E проводим прямую и находим на ней точку F, лежащую на прямой AO (продолжение AO за точку O). Измеряем расстояние EF: оно равно AB, то есть ширине озера.
Теперь в треугольниках ABO и FEO: OB = OE, ∠ABO = ∠FEO, ∠AOB = ∠FOE как вертикальные (A, O, F лежат на одной прямой, B, O, E тоже). Значит, △ABO = △FEO по второму признаку, откуда AB = EF.
Способ измерения. На берегу озера отмечены точки A и B; расстояние между ними непосредственно измерить нельзя. Выбираем точку O, из которой видны A и B и до которой можно дойти. На прямой AB за точкой B ставим веху C. Продолжаем BO за точку O и откладываем OE = OB; продолжаем CO за точку O и откладываем OD = OC. Через D и E проводим прямую и находим на ней точку F, лежащую на прямой AO (продолжение AO за точку O). Измеряем расстояние EF: оно равно AB, то есть ширине озера.
175. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны, если AB = A1B1, ∠A = ∠A1, AD = A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.
Так как AD и A1D1 — биссектрисы, ∠BAD = ∠A/2 = ∠A1/2 = ∠B1A1D1. В треугольниках ABD и A1B1D1: AB = A1B1, AD = A1D1, ∠BAD = ∠B1A1D1. Значит, △ABD = △A1B1D1 по первому признаку, откуда ∠B = ∠B1. Теперь в треугольниках ABC и A1B1C1: AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, и они равны по второму признаку.
176. В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольники ABО и CDO равны.
O лежит на отрезках BC и AD, поэтому ∠OAC = ∠DAC и ∠OCA = ∠BCA. Значит, ∠DAC = ∠BCA.
Треугольники ABC и CDA: BC = DA по условию, AC — общая сторона, ∠BCA = ∠DAC. Значит, △ABC = △CDA по первому признаку, откуда AB = CD, ∠B = ∠D (то есть ∠ABO = ∠CDO) и ∠BAC = ∠DCA.
Луч AO (= AD) лежит внутри угла BAC, луч CO (= CB) — внутри угла DCA, поэтому ∠BAO = ∠BAC − ∠OAC = ∠DCA − ∠OCA = ∠DCO.
Теперь в треугольниках ABO и CDO: AB = CD, ∠ABO = ∠CDO, ∠BAO = ∠DCO. Значит, △ABO = △CDO по второму признаку.
Треугольники ABC и CDA: BC = DA по условию, AC — общая сторона, ∠BCA = ∠DAC. Значит, △ABC = △CDA по первому признаку, откуда AB = CD, ∠B = ∠D (то есть ∠ABO = ∠CDO) и ∠BAC = ∠DCA.
Луч AO (= AD) лежит внутри угла BAC, луч CO (= CB) — внутри угла DCA, поэтому ∠BAO = ∠BAC − ∠OAC = ∠DCA − ∠OCA = ∠DCO.
Теперь в треугольниках ABO и CDO: AB = CD, ∠ABO = ∠CDO, ∠BAO = ∠DCO. Значит, △ABO = △CDO по второму признаку.
177. На рисунке 102 AC = AD, AB ⊥ CD. Докажите, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB. [рисунок 102: четырёхугольник ACBD; диагонали AB и CD перпендикулярны]
Пусть H — точка пересечения AB и CD. Треугольник ACD равнобедренный (AC = AD), AH — высота, проведённая к основанию, поэтому AH также биссектриса: ∠CAH = ∠DAH. Точка B лежит на луче AH, поэтому ∠CAB = ∠DAB.
Треугольники ACB и ADB: AC = AD, AB — общая сторона, ∠CAB = ∠DAB. Значит, △ACB = △ADB по первому признаку, откуда BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.
Треугольники ACB и ADB: AC = AD, AB — общая сторона, ∠CAB = ∠DAB. Значит, △ACB = △ADB по первому признаку, откуда BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.