Упражнения 159–160 — Глава II. §4. Задачи на построение; вопросы для…

а) Биссектриса AK. Строим окружность с центром A произвольного радиуса; она пересекает стороны AB и AC в точках D и E. Окружности одного и того же радиуса DE с центрами D и E пересекаются внутри угла в точке F. Луч AF пересекает сторону BC в точке K. AK — биссектриса (треугольники ADF и AEF равны по трём сторонам, значит, ∠DAF = ∠EAF).
б) Медиана BM. Строим середину M стороны AC: окружности радиуса AC с центрами A и C пересекаются в точках P и Q; прямая PQ пересекает AC в точке M (она проходит через середину отрезка AC). Соединяем B и M.
в) Высота CH. Строим окружность с центром C, пересекающую прямую AB в точках U и V. Окружности с центрами U и V радиуса CU пересекаются в точке C и ещё в точке T; прямая CT пересекает AB в точке H. Тогда CH ⊥ AB (это построение перпендикуляра из точки к прямой).
На рисунке красным показаны AK (с равными углами при A), BM (M — середина AC, равные отрезки AM и MC отмечены) и CH (прямой угол при H).

Идея: 45° — половина прямого угла, 22°30′ — половина угла 45°.
а) 1) Строим прямой угол с вершиной O (перпендикуляр к прямой в данной точке: откладываем равные отрезки OP = OQ по разные стороны от O, строим две окружности с центрами P и Q радиуса PQ и проводим прямую через O и точку их пересечения; на рисунке прямой угол уже построен). 2. Строим окружность с центром O; она пересекает стороны прямого угла в точках P и Q. 3. Окружности одного радиуса (на рисунке равного OP) с центрами P и Q пересекаются в точке R внутри угла. Луч OR — биссектриса прямого угла, ∠POR = 90° : 2 = 45°.
б) 4) Окружность с центром O пересекает луч OR в точке S. Окружности радиуса OP с центрами P и S пересекаются в точке T внутри угла POR. Луч OT — биссектриса угла POR, ∠POT = 45° : 2 = 22°30′.
Доказательство: в каждом шаге биссектриса строится по правилу из п. 23 (треугольники, образованные центрами и точкой пересечения окружностей, равны по трём сторонам).

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. Углами треугольника называются углы, образованные каждой парой сторон при общей вершине. Например, у треугольника ABC вершины A, B, C; стороны AB, BC, CA; углы ∠A (BAC), ∠B (ABC), ∠C (ACB). Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон: P = AB + BC + CA.

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответственные стороны и соответственные углы равны (против равных сторон лежат равные углы).

Теоремой называется утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1. Так как ∠A = ∠A1, треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A совместится с A1, а стороны AB и AC наложатся на лучи A1B1 и A1C1. Поскольку AB = A1B1 и AC = A1C1, точки B и B1, C и C1 совместятся. Тогда совместятся и стороны BC и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, значит, они равны.

Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на ней. Отрезок AH, соединяющий A с точкой H прямой a, называется перпендикуляром, проведённым из точки A к прямой a, если прямые AH и a перпендикулярны. Точка H называется основанием перпендикуляра.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Доказательство. Пусть A — точка, не лежащая на прямой BC. Существование. Проведём луч BA и отложим от луча BC угол MBC, равный углу ABC, по другую сторону от BC. Угол ABC можно наложить на угол MBC перегибанием по прямой BC; при этом точка A наложится на некоторую точку A1 луча BM. Пусть H — точка пересечения прямых AA1 и BC. При наложении луч HA совмещается с лучом HA1, поэтому ∠1 = ∠AHB совмещается с ∠2 = ∠A1HB и ∠1 = ∠2. Но эти углы смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, AH ⊥ BC.
Единственность. Если бы через точку A можно было провести ещё один перпендикуляр AH1 к BC, то две прямые AH и AH1, перпендикулярные к прямой BC, пересекались бы. Но две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12). Значит, перпендикуляр один.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Треугольник имеет три медианы (по одной из каждой вершины); они пересекаются в одной точке.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Треугольник имеет три биссектрисы; они пересекаются в одной точке.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Треугольник имеет три высоты; сами высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC (AB = AC). Проведём биссектрису AD угла A. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку: AB = AC по условию, AD — общая сторона, ∠BAD = ∠CAD (AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: ∠B = ∠C.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, AD — биссектриса. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку (AB = AC, AD — общая сторона, ∠1 = ∠BAD = ∠CAD = ∠2). Из равенства следует BD = DC и ∠ADB = ∠ADC. Равенство BD = DC означает, что D — середина BC, поэтому AD — медиана. Углы ADB и ADC смежные и равны, значит, они прямые, и AD ⊥ BC, то есть AD — высота. Следовательно, биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают.

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с A1, сторона AB — с равной ей стороной A1B1 и вершины C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1. Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC — на луч B1C1. Вершина C — общая точка сторон AC и BC — окажется лежащей и на луче A1C1, и на луче B1C1, а значит, совместится с их общей точкой C1. Тогда AC совместится с A1C1, BC — с B1C1, и треугольники полностью совместятся, то есть равны.

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, BC = B1C1, CA = C1A1. Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1C1 так, чтобы A совместилась с A1, B — с B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой A1B1. Возможны три случая: луч C1C проходит внутри угла A1C1B1; совпадает с одной из его сторон; проходит вне этого угла. Рассмотрим первый случай (остальные разбираются аналогично). Так как A1C1 = AC и B1C1 = BC, треугольники A1C1C и B1C1C равнобедренные. По теореме о углах при основании равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, поэтому ∠A1CB1 = ∠A1C1B1, то есть ∠C = ∠C1. Теперь AC = A1C1, BC = B1C1, ∠C = ∠C1, и треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку.