Глава II. §3. Второй и третий признаки равенства треугольников — с. 43
146. В треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, AB = А1В1, BD = B1D1 и AD = A1D1. Докажите, что △ABС = △А1В1С1.
В треугольниках ABD и A1B1D1: AB = A1B1, BD = B1D1, AD = A1D1. Значит, △ABD = △A1B1D1 по третьему признаку. Отсюда ∠B = ∠B1 и ∠BAD = ∠B1A1D1. Так как AD и A1D1 — биссектрисы, ∠A = 2∠BAD = 2∠B1A1D1 = ∠A1. Теперь в треугольниках ABC и A1B1C1: AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, и они равны по второму признаку.
147. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = ОС.
По условию AD = AC и BD = BC.
а) Рассмотрим треугольники ADB и ACB: AD = AC, BD = BC, AB — общая сторона. Значит, △ADB = △ACB по третьему признаку, откуда ∠ADB = ∠ACB и ∠DAB = ∠CAB.
б) Из △ADB = △ACB получаем ∠DAB = ∠CAB. Рассмотрим два случая расположения точки B на прямой AO. Случай 1: B лежит на луче AO. Тогда луч AB совпадает с лучом AO, и ∠DAO = ∠DAB = ∠CAB = ∠CAO. Случай 2: B лежит на продолжении луча AO за точку A. Тогда лучи AB и AO противоположны, и ∠DAO = 180° − ∠DAB = 180° − ∠CAB = ∠CAO. В обоих случаях AO — биссектриса угла DAC равнобедренного треугольника ADC (основание DC), а биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой. Поэтому DO = OC.
а) Рассмотрим треугольники ADB и ACB: AD = AC, BD = BC, AB — общая сторона. Значит, △ADB = △ACB по третьему признаку, откуда ∠ADB = ∠ACB и ∠DAB = ∠CAB.
б) Из △ADB = △ACB получаем ∠DAB = ∠CAB. Рассмотрим два случая расположения точки B на прямой AO. Случай 1: B лежит на луче AO. Тогда луч AB совпадает с лучом AO, и ∠DAO = ∠DAB = ∠CAB = ∠CAO. Случай 2: B лежит на продолжении луча AO за точку A. Тогда лучи AB и AO противоположны, и ∠DAO = 180° − ∠DAB = 180° − ∠CAB = ∠CAO. В обоих случаях AO — биссектриса угла DAC равнобедренного треугольника ADC (основание DC), а биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой. Поэтому DO = OC.