Глава II. §3. Второй и третий признаки равенства треугольников — с. 41
126. Отрезки AB и CD пересекаются в середине отрезка AB, точке О, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что △CBO = △DAO; б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, АD = 15 см.
а) В треугольниках CBO и DAO: BO = AO (O — середина AB), ∠OBC = ∠OAD по условию, ∠BOC = ∠AOD как вертикальные. Значит, △CBO = △DAO по второму признаку (сторона и два прилежащих к ней угла).
б) Из равенства треугольников BC = AD = 15 см и CO = DO. Так как O лежит на отрезке CD, CO = CD : 2 = 13 см.
Ответ: BC = 15 см, CO = 13 см.
б) Из равенства треугольников BC = AD = 15 см и CO = DO. Так как O лежит на отрезке CD, CO = CD : 2 = 13 см.
Ответ: BC = 15 см, CO = 13 см.
127. На рисунке 59 (см. с. 32) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что △ABC = △CDA; б) найдите AB и ВС, если AD = 19 см, CD = 11 см. [рисунок 59: четырёхугольник ABCD с диагональю AC; ∠1 = ∠BCA, ∠2 = ∠CAD, ∠3 = ∠ACD, ∠4 = ∠BAC]
а) В треугольниках ABC и CDA: AC — общая сторона, ∠BAC = ∠4 = ∠3 = ∠ACD (углы, прилежащие к AC) и ∠BCA = ∠1 = ∠2 = ∠CAD. Значит, △ABC = △CDA по второму признаку.
б) Соответственные стороны равны: AB = CD = 11 см, BC = AD = 19 см.
Ответ: AB = 11 см, BC = 19 см.
б) Соответственные стороны равны: AB = CD = 11 см, BC = AD = 19 см.
Ответ: AB = 11 см, BC = 19 см.
128. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.
Рассмотрим треугольники ABD и ACD: AD — общая сторона, ∠BAD = ∠CAD (AD — биссектриса), ∠ADB = ∠ADC по условию. Значит, △ABD = △ACD по второму признаку. Отсюда BD = CD.
129. По данным рисунка 79 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T. [рисунок 79: точки C, O, B лежат на одной прямой, CO = OB; ∠C = ∠B = 90°; точки T, O, P лежат на одной прямой; T над C, P под B]
Рассмотрим треугольники TCO и PBO: CO = OB (отмечены на рисунке), ∠TCO = ∠PBO = 90°, ∠TOC = ∠POB как вертикальные. Значит, △TCO = △PBO по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Отсюда OT = OP и ∠T = ∠P.
130. На рисунке 80 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD. [рисунок 80: отрезки AD и BC пересекаются в точке O; также проведены AB, AC, BD]
Рассмотрим треугольники AOC и BOD. AO = BO по условию. ∠OAC = ∠DAC = ∠DBC = ∠OBD (так как O лежит на отрезках AD и BC, углы DAC и OAC, а также DBC и OBD совпадают). ∠AOC = ∠BOD как вертикальные. Значит, △AOC = △BOD по второму признаку. Отсюда AC = BD и ∠ACO = ∠BDO, то есть ∠C = ∠D.
131. На рисунке 80 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС = 13 см. Найдите BD. [рисунок 80: отрезки AD и BC пересекаются в точке O; проведены также AB, AC и BD]
Рассмотрим треугольники ABC и BAD: AB — общая сторона, ∠CAB = ∠DBA и ∠CBA = ∠DAB по условию (углы прилежат к AB). Значит, △ABC = △BAD по второму признаку. Отсюда сторона BD, лежащая против угла BAD = ∠CBA, равна стороне AC, лежащей против угла CBA: BD = AC = 13 см.
Ответ: 13 см.
Ответ: 13 см.
132. В треугольниках ABC и А1В1С1 AB = А1В1, ВС = В1С1, ∠В = ∠B1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что △BCD = △B1C1D1.
△ABC = △A1B1C1 по первому признаку (AB = A1B1, BC = B1C1, ∠B = ∠B1), поэтому ∠ACB = ∠A1C1B1. Точки D и D1 лежат на сторонах AB и A1B1, поэтому лучи CD и C1D1 лежат внутри углов ACB и A1C1B1, и ∠BCD = ∠ACB − ∠ACD = ∠A1C1B1 − ∠A1C1D1 = ∠B1C1D1.
В треугольниках BCD и B1C1D1: BC = B1C1, ∠B = ∠B1, ∠BCD = ∠B1C1D1. Значит, △BCD = △B1C1D1 по второму признаку.
В треугольниках BCD и B1C1D1: BC = B1C1, ∠B = ∠B1, ∠BCD = ∠B1C1D1. Значит, △BCD = △B1C1D1 по второму признаку.
133. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.
Пусть △ABC = △A1B1C1, AD и A1D1 — биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам BC и B1C1 (D на BC, D1 на B1C1). Из равенства треугольников ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, AB = A1B1. Так как AD и A1D1 — биссектрисы, ∠BAD = ∠A/2 = ∠A1/2 = ∠B1A1D1. В треугольниках ABD и A1B1D1: AB = A1B1, ∠B = ∠B1, ∠BAD = ∠B1A1D1. Значит, △ABD = △A1B1D1 по второму признаку, откуда AD = A1D1.