Глава II. §2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника (продолжение) — с. 38
117. На рисунке 73, а AB = ВС, ∠1 = 130°. Найдите ∠2. [рисунок 73, а: треугольник ABC, стороны CA и BA продолжены за вершину A; ∠1 — угол при вершине C, смежный с углом ACB (между CB и продолжением AC за C); ∠2 — угол при вершине A между продолжениями сторон BA и CA]
∠1 смежный с углом ACB треугольника ABC, поэтому ∠ACB = 180° − 130° = 50°. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC, основание AC), значит, углы при основании равны: ∠BAC = ∠ACB = 50°. Угол 2 образован продолжениями сторон CA и BA за вершину A, то есть вертикален углу BAC, поэтому ∠2 = ∠BAC = 50°.
Ответ: 50°.
Ответ: 50°.
118. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники MNO и PQO: MN = PQ по условию, NO = OQ (O — середина NQ), ∠MNO = ∠PQO = 90°. Значит, △MNO = △PQO по первому признаку. Отсюда MO = PO, и треугольник OMP равнобедренный с основанием MP, поэтому ∠OMP = ∠OPM.
б) Из равенства треугольников ∠NOM = ∠QOP. Точки N, O, Q лежат на одной прямой b, поэтому ∠NOM + ∠MOP + ∠POQ = 180°. Пусть ∠NOM = ∠POQ = x, тогда 2x + 105° = 180°, x = 37,5° = 37°30′.
Ответ: 37°30′.
б) Из равенства треугольников ∠NOM = ∠QOP. Точки N, O, Q лежат на одной прямой b, поэтому ∠NOM + ∠MOP + ∠POQ = 180°. Пусть ∠NOM = ∠POQ = x, тогда 2x + 105° = 180°, x = 37,5° = 37°30′.
Ответ: 37°30′.
119. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.
Пусть △ABC = △A1B1C1, AM и A1M1 — медианы, проведённые к соответственно равным сторонам BC и B1C1. Так как BC = B1C1, то BM = BC/2 = B1C1/2 = B1M1. В треугольниках ABM и A1B1M1: AB = A1B1, BM = B1M1, ∠B = ∠B1 (из равенства данных треугольников). Значит, △ABM = △A1B1M1 по первому признаку, откуда AM = A1M1.
120. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.
M — середина BC, поэтому BM = MC. По условию AM = BM, значит, AM = BM = MC.
Треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), поэтому ∠BAM = ∠B. Треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), поэтому ∠MAC = ∠C. Так как точка M лежит на стороне BC, луч AM лежит внутри угла BAC и ∠A = ∠BAM + ∠MAC = ∠B + ∠C.
Итак, угол A равен сумме углов B и C.
Треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), поэтому ∠BAM = ∠B. Треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), поэтому ∠MAC = ∠C. Так как точка M лежит на стороне BC, луч AM лежит внутри угла BAC и ∠A = ∠BAM + ∠MAC = ∠B + ∠C.
Итак, угол A равен сумме углов B и C.
121. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Пусть в треугольнике ABC AB = BC = CA. Так как AB = AC, треугольник равнобедренный с основанием BC, и ∠B = ∠C (углы при основании). Так как CA = CB, треугольник равнобедренный с основанием AB, и ∠A = ∠B. Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C.
122. На рисунке 73, б AB = ВС, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED. [рисунок 73, б: точки A, C, E лежат на одной прямой; точки B, C, D лежат на одной прямой; AB = BC, CD = DE]
Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), поэтому ∠BAC = ∠BCA. Углы BCA и DCE вертикальные (A, C, E лежат на одной прямой и B, C, D лежат на одной прямой), значит, ∠BCA = ∠DCE. Треугольник CDE равнобедренный (CD = DE) с основанием CE, поэтому ∠DCE = ∠CED. Получаем ∠BAC = ∠BCA = ∠DCE = ∠CED.
123. На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что: а) △ВАМ = △CAN; б) треугольник AMN равнобедренный.
а) В треугольниках BAM и CAN: AB = AC (треугольник ABC равнобедренный), BM = CN по условию, ∠B = ∠C (углы при основании). Значит, △BAM = △CAN по первому признаку.
б) Из равенства треугольников AM = AN. Следовательно, треугольник AMN равнобедренный с основанием MN.
б) Из равенства треугольников AM = AN. Следовательно, треугольник AMN равнобедренный с основанием MN.
124. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.
EF — биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, поэтому она является также медианой и высотой.
KF = DK : 2 = 8 см (EF — медиана).
∠DEK = 2 · ∠DEF = 2 · 43° = 86° (EF — биссектриса).
∠EFD = 90° (EF — высота).
Ответ: KF = 8 см, ∠DEK = 86°, ∠EFD = 90°.
KF = DK : 2 = 8 см (EF — медиана).
∠DEK = 2 · ∠DEF = 2 · 43° = 86° (EF — биссектриса).
∠EFD = 90° (EF — высота).
Ответ: KF = 8 см, ∠DEK = 86°, ∠EFD = 90°.
125. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах AB и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажите, что: a) △BDE = △BDF; б) △ADE = △CDF.
а) Медиана BD, проведённая к основанию, является и биссектрисой, поэтому ∠EBD = ∠FBD. Так как AB = CB и AE = CF, то BE = AB − AE = CB − CF = BF. В треугольниках BDE и BDF: BE = BF, BD — общая сторона, ∠EBD = ∠FBD. Значит, △BDE = △BDF по первому признаку.
б) В треугольниках ADE и CDF: AD = DC (BD — медиана), AE = CF по условию, ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника). Значит, △ADE = △CDF по первому признаку.
б) В треугольниках ADE и CDF: AD = DC (BD — медиана), AE = CF по условию, ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника). Значит, △ADE = △CDF по первому признаку.