Глава II. §3. Второй и третий признаки равенства треугольников — с. 42
134. Отрезки АС и BD пересекаются в середине отрезка AC, точке О, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что △BОА = △DОС.
Рассмотрим треугольники BOC и DOA: OC = OA (O — середина AC), ∠BCO = ∠DAO по условию, ∠BOC = ∠DOA как вертикальные. Значит, △BOC = △DOA по второму признаку, откуда BO = DO.
Теперь треугольники BOA и DOC: BO = DO (только что доказано), OA = OC, ∠BOA = ∠DOC как вертикальные. Значит, △BOA = △DOC по первому признаку.
Теперь треугольники BOA и DOC: BO = DO (только что доказано), OA = OC, ∠BOA = ∠DOC как вертикальные. Значит, △BOA = △DOC по первому признаку.
135. В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС = В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C = ∠C1. Докажите, что: а) △АСО = △А1С1О1; б) △ВСО = △В1С1О1.
Точки O и O1 — середины сторон AB и A1B1.
Сначала △ABC = △A1B1C1 по второму признаку (BC = B1C1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1). Отсюда AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1. Тогда AO = AB/2 = A1B1/2 = A1O1 и BO = B1O1.
а) В треугольниках ACO и A1C1O1: AC = A1C1, AO = A1O1, ∠A = ∠A1. Значит, △ACO = △A1C1O1 по первому признаку.
б) В треугольниках BCO и B1C1O1: BC = B1C1, BO = B1O1, ∠B = ∠B1. Значит, △BCO = △B1C1O1 по первому признаку.
Сначала △ABC = △A1B1C1 по второму признаку (BC = B1C1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1). Отсюда AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1. Тогда AO = AB/2 = A1B1/2 = A1O1 и BO = B1O1.
а) В треугольниках ACO и A1C1O1: AC = A1C1, AO = A1O1, ∠A = ∠A1. Значит, △ACO = △A1C1O1 по первому признаку.
б) В треугольниках BCO и B1C1O1: BC = B1C1, BO = B1O1, ∠B = ∠B1. Значит, △BCO = △B1C1O1 по первому признаку.
136. В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.
△DEF = △MNP по первому признаку (EF = NP, DF = MP, ∠F = ∠P). Отсюда DE = MN, ∠D = ∠M, ∠E = ∠N.
Поскольку DO и EO — биссектрисы, ∠ODE = ∠D/2 и ∠OED = ∠E/2. Аналогично ∠KMN = ∠M/2 и ∠KNM = ∠N/2. Значит, ∠ODE = ∠KMN и ∠OED = ∠KNM.
В треугольниках DOE и MKN: DE = MN, ∠ODE = ∠KMN, ∠OED = ∠KNM. Следовательно, △DOE = △MKN по второму признаку, откуда ∠DOE = ∠MKN.
Поскольку DO и EO — биссектрисы, ∠ODE = ∠D/2 и ∠OED = ∠E/2. Аналогично ∠KMN = ∠M/2 и ∠KNM = ∠N/2. Значит, ∠ODE = ∠KMN и ∠OED = ∠KNM.
В треугольниках DOE и MKN: DE = MN, ∠ODE = ∠KMN, ∠OED = ∠KNM. Следовательно, △DOE = △MKN по второму признаку, откуда ∠DOE = ∠MKN.
137. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.
Пусть биссектриса угла A пересекает прямую MN в точке K, AK ⊥ MN. Рассмотрим треугольники AKM и AKN: AK — общая сторона, ∠MAK = ∠NAK (биссектриса), ∠AKM = ∠AKN = 90°. Значит, △AKM = △AKN по второму признаку. Отсюда AM = AN, то есть треугольник AMN равнобедренный.
138. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.
Пусть AD — биссектриса треугольника ABC и AD ⊥ BC. В треугольниках ABD и ACD: AD — общая сторона, ∠BAD = ∠CAD, ∠ADB = ∠ADC = 90°. Значит, △ABD = △ACD по второму признаку. Отсюда AB = AC, и треугольник ABC равнобедренный.
139. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
Пусть у равнобедренных треугольников ABC и A1B1C1 основания BC и B1C1 равны и ∠B = ∠B1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому ∠C = ∠B и ∠C1 = ∠B1, значит, ∠C = ∠C1. Теперь BC = B1C1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1, и треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих к ней угла).
140. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
Пусть сторона первого равностороннего треугольника равна a и равна стороне второго. Все стороны каждого из треугольников равны a, поэтому три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого. По третьему признаку равенства треугольников они равны.
141. В треугольниках ABD и ACD AB = AC, BD = DC, точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD. Найдите угол CAD, если ∠BAC = 50°.
Треугольники ABD и ACD равны по третьему признаку: AB = AC, BD = DC, AD — общая сторона. Отсюда ∠BAD = ∠CAD. Точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD, поэтому луч AD делит угол BAC на два равных угла, и ∠CAD = ∠BAC : 2 = 25°.
Ответ: 25°.
Оговорка: ответ получен для обычного расположения, когда луч AD лежит внутри угла BAC; в этом случае ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC.
Ответ: 25°.
Оговорка: ответ получен для обычного расположения, когда луч AD лежит внутри угла BAC; в этом случае ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC.
142. В треугольниках ABC и ADC BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D. Рассмотрите разные случаи расположения точек B и D.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA: BC = DA, AB = CD по условию, AC — общая сторона. Значит, △ABC = △CDA по третьему признаку, и вершине B соответствует вершина D. Третий признак не зависит от расположения треугольников, поэтому разберём оба случая.
1. Точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC: треугольники расположены «навстречу» друг другу (как на рисунке 59).
2. Точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC: четырёхугольник ABDC (или ACDB) самопересекающийся либо один из треугольников лежит внутри другого. В обоих случаях у треугольников ABC и CDA три пары сторон соответственно равны, поэтому они равны, и равные углы B и D лежат против равных сторон AC. Итак, ∠B = ∠D.
143. На рисунке 81 AB = CD и BD = AC. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB. [рисунок 81: четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD; AB = CD]
а) Рассмотрим треугольники ABD и DCA: AB = DC, BD = CA по условию, AD — общая сторона. Значит, △ABD = △DCA по третьему признаку. В равных треугольниках ABD и DCA вершине A соответствует D, вершине B — C, вершине D — A. Угол ADB лежит против стороны AB, а соответственный ему угол DAC лежит против равной стороны DC. Поэтому ∠ADB = ∠DAC, то есть ∠CAD = ∠ADB.
б) Рассмотрим треугольники ABC и DCB: AB = DC, AC = DB, BC — общая сторона. Значит, △ABC = △DCB по третьему признаку. Угол BAC лежит против стороны BC, угол CDB лежит против той же стороны BC, поэтому ∠BAC = ∠CDB.
б) Рассмотрим треугольники ABC и DCB: AB = DC, AC = DB, BC — общая сторона. Значит, △ABC = △DCB по третьему признаку. Угол BAC лежит против стороны BC, угол CDB лежит против той же стороны BC, поэтому ∠BAC = ∠CDB.
144. На рисунке 82 AB = CD, AD = ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF. [рисунок 82: четырёхугольник ABCD с диагональю AC; E и F — точки диагонали AC; BE и DF — биссектрисы углов B и D]
Рассмотрим треугольники ABC и CDA: AB = CD, BC = DA, AC — общая сторона. Значит, △ABC = △CDA по третьему признаку. Отсюда ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.
а) BE и DF — биссектрисы равных углов ABC и ADC, поэтому ∠ABE = ∠ABC/2 = ∠ADC/2 = ∠ADF.
б) DF — биссектриса угла ADC, поэтому ∠CDF = ∠ADC/2. Так как ∠ADC = ∠ABC, то ∠CDF = ∠ABC/2 = ∠ABE. В треугольниках ABE и CDF: AB = CD, ∠BAE = ∠BAC = ∠DCA = ∠DCF и ∠ABE = ∠CDF. Значит, △ABE = △CDF по второму признаку.
а) BE и DF — биссектрисы равных углов ABC и ADC, поэтому ∠ABE = ∠ABC/2 = ∠ADC/2 = ∠ADF.
б) DF — биссектриса угла ADC, поэтому ∠CDF = ∠ADC/2. Так как ∠ADC = ∠ABC, то ∠CDF = ∠ABC/2 = ∠ABE. В треугольниках ABE и CDF: AB = CD, ∠BAE = ∠BAC = ∠DCA = ∠DCF и ∠ABE = ∠CDF. Значит, △ABE = △CDF по второму признаку.
145. В треугольниках ABC и A1B1C1 медианы ВМ и В1М1 равны, AB = А1В1, АС = А1С1. Докажите, что △ABС = △A1B1C1.
Точки M и M1 — середины сторон AC и A1C1, поэтому AM = AC/2 = A1C1/2 = A1M1. В треугольниках ABM и A1B1M1: AB = A1B1, AM = A1M1, BM = B1M1. Значит, △ABM = △A1B1M1 по третьему признаку, откуда ∠A = ∠A1. Теперь в треугольниках ABC и A1B1C1: AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1, и они равны по первому признаку.