Глава II. Треугольники. §1. Первый признак равенства треугольников — с. 32
94. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC, в котором: а) AB = 4,3 см, АС = 2,3 см, ∠A = 23°; б) ВС = 9 см, ВА = 6,2 см, ∠B = 122°; в) СА = 3 см, СВ = 4 см, ∠C = 90°.
Во всех случаях строим угол между двумя заданными сторонами, откладываем на его сторонах заданные отрезки и соединяем концы (первый признак равенства треугольников говорит, что такой треугольник определён однозначно).
а) Проводим луч AB и откладываем на нём AB = 4,3 см. Транспортиром откладываем от луча AB угол 23° и на второй стороне угла откладываем AC = 2,3 см. Соединяем B и C.
б) Проводим луч BC, откладываем BC = 9 см. От луча BC транспортиром откладываем угол 122° (тупой) и на его стороне откладываем BA = 6,2 см. Соединяем A и C.
в) Строим прямой угол C (угольником или транспортиром), откладываем на одной стороне CA = 3 см, на другой CB = 4 см. Соединяем A и B. Измерение даёт AB = 5 см.
На рисунке три треугольника показаны в разных масштабах, поэтому сравнивать их размеры по рисунку не нужно.
а) Проводим луч AB и откладываем на нём AB = 4,3 см. Транспортиром откладываем от луча AB угол 23° и на второй стороне угла откладываем AC = 2,3 см. Соединяем B и C.
б) Проводим луч BC, откладываем BC = 9 см. От луча BC транспортиром откладываем угол 122° (тупой) и на его стороне откладываем BA = 6,2 см. Соединяем A и C.
в) Строим прямой угол C (угольником или транспортиром), откладываем на одной стороне CA = 3 см, на другой CB = 4 см. Соединяем A и B. Измерение даёт AB = 5 см.
На рисунке три треугольника показаны в разных масштабах, поэтому сравнивать их размеры по рисунку не нужно.
95. Сторона AB треугольника ABC равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника ABC.
AB = 17 см. АС = 2 · 17 = 34 см. ВС = 34 − 10 = 24 см.
Периметр P = AB + BC + AC = 17 + 24 + 34 = 75 см.
Ответ: 75 см.
Периметр P = AB + BC + AC = 17 + 24 + 34 = 75 см.
Ответ: 75 см.
96. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.
Сумма двух других сторон равна 48 − 18 = 30 см, а их разность 4,6 см. Пусть меньшая сторона x см, тогда большая x + 4,6 см. Получаем x + x + 4,6 = 30, 2x = 25,4, x = 12,7. Большая сторона 12,7 + 4,6 = 17,3 см.
Проверка: 18 + 12,7 + 17,3 = 48.
Ответ: 12,7 см и 17,3 см.
Проверка: 18 + 12,7 + 17,3 = 48.
Ответ: 12,7 см и 17,3 см.
97. Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?
Нет. Если треугольники равны, то они совмещаются наложением, поэтому их стороны соответственно равны, а значит, равны и периметры (суммы длин сторон). Если же периметры различны, треугольники не могут быть равными.
Ответ: нет.
Ответ: нет.
98. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.
а) Рассмотрим треугольники ABC и EBD. AB = BE и CB = BD, так как B — середина отрезков AE и DC. ∠ABC = ∠EBD как вертикальные углы. Значит, △ABC = △EBD по первому признаку (две стороны и угол между ними).
б) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Вершине A соответствует E, вершине C соответствует D. Поэтому ∠A = ∠E = 42°, ∠C = ∠D = 47°.
Ответ: ∠A = 42°, ∠C = 47°.
б) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Вершине A соответствует E, вершине C соответствует D. Поэтому ∠A = ∠E = 42°, ∠C = ∠D = 47°.
Ответ: ∠A = 42°, ∠C = 47°.
99. На рисунке 58 AB = АС, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если АС = 15 см, DC = 5 см. [рисунок 58: точка D соединена с вершинами A, B и C; AB = AC; ∠1 = ∠BAD, ∠2 = ∠DAC]
а) В треугольниках ABD и ACD: AB = AC по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠BAD = ∠CAD = ∠2 по условию. Значит, △ABD = △ACD по первому признаку.
б) Из равенства треугольников BD = DC = 5 см и AB = AC = 15 см.
Ответ: BD = 5 см, AB = 15 см.
б) Из равенства треугольников BD = DC = 5 см и AB = AC = 15 см.
Ответ: BD = 5 см, AB = 15 см.
100. На рисунке 59 BC = AD, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники ABC и CDA равны; б) найдите AB и ВС, если AD = 17 см, DC = 14 см. [рисунок 59: четырёхугольник ABCD с диагональю AC; BC = AD; ∠1 = ∠BCA, ∠2 = ∠CAD]
а) В треугольниках ABC и CDA: BC = AD по условию, AC — общая сторона, ∠BCA = ∠1 = ∠2 = ∠CAD. Значит, △ABC = △CDA по первому признаку (две стороны и угол между ними).
б) Соответственные стороны равны: AB = CD = 14 см, BC = AD = 17 см.
Ответ: AB = 14 см, BC = 17 см.
б) Соответственные стороны равны: AB = CD = 14 см, BC = AD = 17 см.
Ответ: AB = 14 см, BC = 17 см.
101. На рисунке 60 OA = OD, OB = OC, ∠1 = 74°, ∠2 = 36°. а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны; б) найдите угол ACD. [рисунок 60: отрезки AD и BC пересекаются в точке O; ∠1 = ∠ABO, ∠2 = ∠ACO]
а) В треугольниках AOB и DOC: OA = OD, OB = OC по условию, ∠AOB = ∠DOC как вертикальные (точка O лежит на отрезках AD и BC). Значит, △AOB = △DOC по первому признаку.
б) Из равенства треугольников ∠DCO = ∠ABO = ∠1 = 74° (углы лежат против равных сторон OD и OA). Угол ACD состоит из углов ACO и OCD: ∠ACD = ∠2 + ∠DCO = 36° + 74° = 110°.
Ответ: 110°.
б) Из равенства треугольников ∠DCO = ∠ABO = ∠1 = 74° (углы лежат против равных сторон OD и OA). Угол ACD состоит из углов ACO и OCD: ∠ACD = ∠2 + ∠DCO = 36° + 74° = 110°.
Ответ: 110°.
102. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △ABC = △CDA.
Пусть O — точка пересечения AC и BD. По условию AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD: AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD как вертикальные. Значит, △AOB = △COD по первому признаку, откуда AB = CD и ∠BAO = ∠DCO, то есть ∠BAC = ∠DCA.
Теперь в треугольниках ABC и CDA: AB = CD, AC — общая сторона, ∠BAC = ∠DCA. Следовательно, △ABC = △CDA по первому признаку.
Теперь в треугольниках ABC и CDA: AB = CD, AC — общая сторона, ∠BAC = ∠DCA. Следовательно, △ABC = △CDA по первому признаку.
103. В треугольниках ABC и А1В1С1 AB = А1В1, AC = А1С1, ∠A = ∠A1. На сторонах AB и А1В1 отмечены точки Р и P1 так, что АР = А1Р1. Докажите, что △BРС = △В1Р1С1.
По условию AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1, поэтому △ABC = △A1B1C1 по первому признаку. Отсюда BC = B1C1 и ∠B = ∠B1.
Так как точки P и P1 лежат на сторонах AB и A1B1, то BP = AB − AP, B1P1 = A1B1 − A1P1. Из AB = A1B1 и AP = A1P1 получаем BP = B1P1.
В треугольниках BPC и B1P1C1: BP = B1P1, BC = B1C1, ∠PBC = ∠B = ∠B1 = ∠P1B1C1. Значит, △BPC = △B1P1C1 по первому признаку.
Так как точки P и P1 лежат на сторонах AB и A1B1, то BP = AB − AP, B1P1 = A1B1 − A1P1. Из AB = A1B1 и AP = A1P1 получаем BP = B1P1.
В треугольниках BPC и B1P1C1: BP = B1P1, BC = B1C1, ∠PBC = ∠B = ∠B1 = ∠P1B1C1. Значит, △BPC = △B1P1C1 по первому признаку.
104. На сторонах угла CAD отмечены точки В и E так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.
Рассмотрим треугольники ABD и AEC. AB = AE, AD = AC по условию, ∠A у них общий (∠BAD = ∠EAC = ∠CAD). Значит, △ABD = △AEC по первому признаку. Отсюда ∠ABD = ∠AEC и BD = EC.
Кроме того, BC = AC − AB и ED = AD − AE, поэтому BC = ED.
Теперь рассмотрим углы. ∠CBD смежный с ∠ABD, ∠DEC смежный с ∠AEC (точки A, B, C лежат на одной прямой, точки A, E, D тоже). Углы ∠ABD и ∠AEC равны, значит, равны и смежные с ними: ∠CBD = 180° − ∠ABD = 180° − ∠AEC = ∠DEC.
Кроме того, BC = AC − AB и ED = AD − AE, поэтому BC = ED.
Теперь рассмотрим углы. ∠CBD смежный с ∠ABD, ∠DEC смежный с ∠AEC (точки A, B, C лежат на одной прямой, точки A, E, D тоже). Углы ∠ABD и ∠AEC равны, значит, равны и смежные с ними: ∠CBD = 180° − ∠ABD = 180° − ∠AEC = ∠DEC.