Глава II. §2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника — с. 37
105. Начертите прямую а и отметьте точки A и B, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
Чертим прямую a и по разные стороны от неё отмечаем точки A и B. Прикладываем один катет угольника к прямой a, а второй катет подводим к точке A (двигая угольник вдоль прямой). Проводим вдоль второго катета отрезок AH₁ до пересечения с прямой a: AH₁ ⊥ a. Так же строим BH₂ ⊥ a. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой, поэтому построенные отрезки определены однозначно. Эти два перпендикуляра параллельны (не пересекаются).
106. Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.
Чертим треугольник ABC. Измеряем линейкой каждую сторону и отмечаем её середину: на BC точку A₁ (BA₁ = A₁C = BC/2), на AC точку B₁, на AB точку C₁. Соединяем каждую вершину с серединой противоположной стороны: AA₁, BB₁, CC₁. Это медианы треугольника. Три медианы пересекаются в одной точке (внутри треугольника), что служит проверкой точности чертежа.
107. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.
Чертим треугольник ABC. Транспортиром измеряем угол A и откладываем от стороны AB угол, равный половине угла A. Луч пересекает сторону BC в точке A₁, отрезок AA₁ — биссектриса треугольника. Так же делим пополам угол B (отрезок BB₁) и угол C (отрезок CC₁). Три биссектрисы пересекаются в одной точке внутри треугольника, это проверка точности построения. На рисунке равные углы отмечены одинаковым числом дуг.
108. Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.
Треугольник ABC (все углы острые). Прикладываем катет угольника к стороне BC, а другой катет подводим к вершине A, и проводим перпендикуляр AH₁ к BC. Так же строим BH₂ ⊥ AC и CH₃ ⊥ AB. Основания всех высот лежат на самих сторонах, высоты пересекаются внутри треугольника в одной точке.
Треугольник MNP (угол M тупой). Высота MK ⊥ NP лежит внутри треугольника. Чтобы провести высоту из вершины N, продолжаем сторону MP за вершину M (пунктир) и опускаем из N перпендикуляр NL на эту прямую; основание L лежит на продолжении стороны MP. Аналогично, продолжив сторону MN за вершину M, проводим PS ⊥ MN. Сами высоты NL и PS лежат вне треугольника, а их продолжения вместе с высотой MK пересекаются в одной точке.
Треугольник MNP (угол M тупой). Высота MK ⊥ NP лежит внутри треугольника. Чтобы провести высоту из вершины N, продолжаем сторону MP за вершину M (пунктир) и опускаем из N перпендикуляр NL на эту прямую; основание L лежит на продолжении стороны MP. Аналогично, продолжив сторону MN за вершину M, проводим PS ⊥ MN. Сами высоты NL и PS лежат вне треугольника, а их продолжения вместе с высотой MK пересекаются в одной точке.
109. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым.
У равнобедренного треугольника равны две боковые стороны, угол против основания — это угол между боковыми сторонами (угол при вершине).
а) Строим острый угол (например, 50°) и откладываем на его сторонах равные отрезки AB = AC; соединяем B и C. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, угол A острый.
б) Строим прямой угол D (угольником), откладываем на сторонах равные отрезки DE = DF (например, по 4 см), соединяем E и F.
в) Строим тупой угол (например, 120°) с вершиной M, откладываем MN = MP, соединяем N и P.
На рисунке равные боковые стороны отмечены черточками, угол против основания обозначен дугой (для прямого угла — знак прямого угла).
а) Строим острый угол (например, 50°) и откладываем на его сторонах равные отрезки AB = AC; соединяем B и C. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, угол A острый.
б) Строим прямой угол D (угольником), откладываем на сторонах равные отрезки DE = DF (например, по 4 см), соединяем E и F.
в) Строим тупой угол (например, 120°) с вершиной M, откладываем MN = MP, соединяем N и P.
На рисунке равные боковые стороны отмечены черточками, угол против основания обозначен дугой (для прямого угла — знак прямого угла).
110. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры AB и CD к прямой а равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.
Здесь B и D — основания перпендикуляров на прямой a.
а) AB ⊥ a и CD ⊥ a, поэтому ∠ABD = 90° и ∠CDB = 90°. Значит, ∠ABD = ∠CDB.
б) Рассмотрим треугольники ABD и CDB: AB = CD по условию, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB = 90°. Значит, △ABD = △CDB по первому признаку. Отсюда ∠ADB = ∠CBD = 44°. Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a, поэтому луч BC лежит внутри прямого угла ABD и ∠ABC = ∠ABD − ∠CBD = 90° − 44° = 46°.
Ответ: 46°.
а) AB ⊥ a и CD ⊥ a, поэтому ∠ABD = 90° и ∠CDB = 90°. Значит, ∠ABD = ∠CDB.
б) Рассмотрим треугольники ABD и CDB: AB = CD по условию, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB = 90°. Значит, △ABD = △CDB по первому признаку. Отсюда ∠ADB = ∠CBD = 44°. Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a, поэтому луч BC лежит внутри прямого угла ABD и ∠ABC = ∠ABD − ∠CBD = 90° − 44° = 46°.
Ответ: 46°.
111. Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что △ABD = △ECD; б) найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.
а) В треугольниках ABD и ECD: BD = DC, так как AD — медиана; AD = DE по условию; ∠ADB = ∠EDC как вертикальные. Значит, △ABD = △ECD по первому признаку.
б) Из равенства ∠DCE = ∠DBA = 40° (углы лежат против равных сторон AD и ED). Тогда ∠ACE = ∠ACD + ∠DCE = 56° + 40° = 96° (точка D лежит на отрезке BC, луч CD лежит внутри угла ACE).
Ответ: 96°.
б) Из равенства ∠DCE = ∠DBA = 40° (углы лежат против равных сторон AD и ED). Тогда ∠ACE = ∠ACD + ∠DCE = 56° + 40° = 96° (точка D лежит на отрезке BC, луч CD лежит внутри угла ACE).
Ответ: 96°.
112. В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
Пусть основание равно x см, тогда каждая боковая сторона равна 2x см. Периметр x + 2x + 2x = 5x = 50, откуда x = 10.
Ответ: основание 10 см, боковые стороны по 20 см.
Ответ: основание 10 см, боковые стороны по 20 см.
113. Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны AB и ВС.
В равностороннем треугольнике BCD все стороны равны, поэтому BC = 45 : 3 = 15 см. В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны равны: AB = AC = (40 − 15) : 2 = 12,5 см.
Ответ: AB = 12,5 см, BC = 15 см.
Ответ: AB = 12,5 см, BC = 15 см.
114. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABМ равен 24 см.
Так как AB = AC и BM = BC/2, периметр треугольника ABC равен 2AB + BC = 32 см, то есть AB + BC/2 = 16 см. Периметр треугольника ABM равен AB + BM + AM = AB + BC/2 + AM = 24 см. Вычитаем: AM = 24 − 16 = 8 см.
Ответ: 8 см.
Ответ: 8 см.
115. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
Пусть AM — медиана треугольника ABC и AM ⊥ BC. Рассмотрим треугольники ABM и ACM: BM = MC (AM — медиана), AM — общая сторона, ∠AMB = ∠AMC = 90°. Значит, △ABM = △ACM по первому признаку. Отсюда AB = AC, то есть треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
116. На рисунке 72 CD = BD, ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. [рисунок 72: точка D внутри треугольника ABC, отрезки DA, DB, DC; DC = DB; ∠1 = ∠ADB, ∠2 = ∠ADC]
Рассмотрим треугольники ADC и ADB. CD = BD по условию, AD — общая сторона, ∠ADC = ∠2 = ∠1 = ∠ADB. Значит, △ADC = △ADB по первому признаку. Отсюда AC = AB, то есть треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.