Глава I. Вопросы для повторения (окончание); дополнительные задачи — с. 28
82. Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.
Пусть части по порядку x, y, z, t; x + y + z + t = 36. Расстояние между серединами крайних частей: x/2 + y + z + t/2 = 30. Вычтем это из первого равенства: (x + t) − (x + t)/2 = 6, то есть (x + t)/2 = 6, x + t = 12.
Расстояние между серединами средних частей равно y/2 + z/2 = (y + z)/2 = (36 − 12)/2 = 12 (см).
Ответ: 12 см.
Расстояние между серединами средних частей равно y/2 + z/2 = (y + z)/2 = (36 − 12)/2 = 12 (см).
Ответ: 12 см.
83*. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков AB и АС. Докажите, что ВС = 2MN.
Доказательство. Возможны два случая взаимного расположения точек.
1) Точка A лежит между B и C. Тогда M лежит на отрезке AB, N — на AC, A между M и N, и MN = MA + AN = AB/2 + AC/2 = (AB + AC)/2 = BC/2 (так как A между B и C, BC = AB + AC). Значит, BC = 2MN.
2) Точки B и C лежат по одну сторону от A (на одном луче из A). Пусть для определённости AB < AC (случай AB > AC разбирается так же; при AB = AC точки B и C совпадают, BC = 0 и MN = 0). Тогда B лежит между A и C, M и N лежат на этом луче, AM = AB/2, AN = AC/2, и MN = AN − AM = (AC − AB)/2 = BC/2, так как BC = AC − AB. Значит, BC = 2MN.
Во всех случаях BC = 2MN. Что и требовалось доказать.
1) Точка A лежит между B и C. Тогда M лежит на отрезке AB, N — на AC, A между M и N, и MN = MA + AN = AB/2 + AC/2 = (AB + AC)/2 = BC/2 (так как A между B и C, BC = AB + AC). Значит, BC = 2MN.
2) Точки B и C лежат по одну сторону от A (на одном луче из A). Пусть для определённости AB < AC (случай AB > AC разбирается так же; при AB = AC точки B и C совпадают, BC = 0 и MN = 0). Тогда B лежит между A и C, M и N лежат на этом луче, AM = AB/2, AN = AC/2, и MN = AN − AM = (AC − AB)/2 = BC/2, так как BC = AC − AB. Значит, BC = 2MN.
Во всех случаях BC = 2MN. Что и требовалось доказать.
84. Известно, что ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.
Лучи OA и OC могут лежать по разные стороны от луча OB или по одну сторону.
1) OA и OC по разные стороны от OB (OB внутри угла AOC): ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 35° + 50° = 85°.
2) OA и OC по одну сторону от OB: меньший из углов, 35°, лежит внутри большего, 50° (луч OA проходит внутри угла BOC): ∠AOC = ∠BOC − ∠AOB = 50° − 35° = 15°.
Построение (линейкой и транспортиром): проводим луч OB; в одну полуплоскость откладываем транспортиром ∠BOA = 35°; для случая 1 угол BOC = 50° откладываем в другую полуплоскость, для случая 2 — в ту же.
Ответ: 85° или 15°.
1) OA и OC по разные стороны от OB (OB внутри угла AOC): ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 35° + 50° = 85°.
2) OA и OC по одну сторону от OB: меньший из углов, 35°, лежит внутри большего, 50° (луч OA проходит внутри угла BOC): ∠AOC = ∠BOC − ∠AOB = 50° − 35° = 15°.
Построение (линейкой и транспортиром): проводим луч OB; в одну полуплоскость откладываем транспортиром ∠BOA = 35°; для случая 1 угол BOC = 50° откладываем в другую полуплоскость, для случая 2 — в ту же.
Ответ: 85° или 15°.
85. Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
Луч m может лежать по ту же сторону от h, что и k, или по другую.
1) Лучи k и m по одну сторону от h. Так как ∠hm = 150° > ∠hk = 120°, луч k проходит внутри угла hm, и ∠km = ∠hm − ∠hk = 150° − 120° = 30°.
2) Лучи k и m по разные стороны от h. Углы hk = 120° и hm = 150° откладываются в разные полуплоскости, вместе они занимают 120° + 150° = 270° > 180°. Поэтому неразвёрнутый угол km не содержит луч h и равен 360° − 270° = 90°.
Итак, на чертеже: h проведём вправо; k — под углом 120° вверх; в случае 1 луч m — под углом 150° в ту же сторону, в случае 2 — под углом 150° в другую сторону (вниз).
Ответ: 30° или 90°.
1) Лучи k и m по одну сторону от h. Так как ∠hm = 150° > ∠hk = 120°, луч k проходит внутри угла hm, и ∠km = ∠hm − ∠hk = 150° − 120° = 30°.
2) Лучи k и m по разные стороны от h. Углы hk = 120° и hm = 150° откладываются в разные полуплоскости, вместе они занимают 120° + 150° = 270° > 180°. Поэтому неразвёрнутый угол km не содержит луч h и равен 360° − 270° = 90°.
Итак, на чертеже: h проведём вправо; k — под углом 120° вверх; в случае 1 луч m — под углом 150° в ту же сторону, в случае 2 — под углом 150° в другую сторону (вниз).
Ответ: 30° или 90°.
86. Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°.
Смежные углы дают в сумме 180°. Пусть меньший угол равен x.
а) Больший угол x + 45°; 2x + 45° = 180°, 2x = 135°, x = 67,5° = 67°30′. Больший угол 67°30′ + 45° = 112°30′.
б) Больший угол x + 35°; 2x + 35° = 180°, 2x = 145°, x = 72,5° = 72°30′. Больший угол 72°30′ + 35° = 107°30′.
Ответ: а) 67°30′ и 112°30′; б) 72°30′ и 107°30′.
а) Больший угол x + 45°; 2x + 45° = 180°, 2x = 135°, x = 67,5° = 67°30′. Больший угол 67°30′ + 45° = 112°30′.
б) Больший угол x + 35°; 2x + 35° = 180°, 2x = 145°, x = 72,5° = 72°30′. Больший угол 72°30′ + 35° = 107°30′.
Ответ: а) 67°30′ и 112°30′; б) 72°30′ и 107°30′.
87. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
Пусть смежные углы AOB и BOC, ∠AOB = α, тогда ∠BOC = 180° − α (A, O, C на одной прямой). Биссектриса OM угла AOB: ∠MOB = α/2. Биссектриса ON угла BOC: ∠BON = (180° − α)/2. Луч OB лежит между OM и ON, поэтому
∠MON = ∠MOB + ∠BON = α/2 + (180° − α)/2 = 90°.
Ответ: 90°.
∠MON = ∠MOB + ∠BON = α/2 + (180° − α)/2 = 90°.
Ответ: 90°.
88. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть прямые AC и BD пересекаются в точке O, углы AOB и COD вертикальные (лучи OC и OA, а также OD и OB — продолжения друг друга). Проведём биссектрису OM угла AOB и продолжим луч OM за точку O: получим луч OM1, лежащий на одной прямой с OM. Докажем, что OM1 — биссектриса угла COD.
Угол COM1 вертикален с углом AOM (стороны OC и OM1 — продолжения сторон OA и OM), значит, ∠COM1 = ∠AOM. Угол DOM1 вертикален с углом BOM: ∠DOM1 = ∠BOM. Так как OM — биссектриса, ∠AOM = ∠BOM, поэтому ∠COM1 = ∠DOM1. Луч OM1 лежит внутри угла COD (он продолжает луч OM, проходящий внутри вертикального угла AOB), следовательно, OM1 делит угол COD на два равных угла и является его биссектрисой.
Итак, биссектрисы OM и OM1 вертикальных углов лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Угол COM1 вертикален с углом AOM (стороны OC и OM1 — продолжения сторон OA и OM), значит, ∠COM1 = ∠AOM. Угол DOM1 вертикален с углом BOM: ∠DOM1 = ∠BOM. Так как OM — биссектриса, ∠AOM = ∠BOM, поэтому ∠COM1 = ∠DOM1. Луч OM1 лежит внутри угла COD (он продолжает луч OM, проходящий внутри вертикального угла AOB), следовательно, OM1 делит угол COD на два равных угла и является его биссектрисой.
Итак, биссектрисы OM и OM1 вертикальных углов лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
89*. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
Доказательство. Углы ABC и CBD имеют общую сторону BC, а стороны BA и BD расположены по разные стороны от прямой BC. Пусть BM — биссектриса угла ABC, BN — биссектриса угла CBD. Тогда луч BC лежит между BM и BN, и
∠MBN = ∠MBC + ∠CBN = ½∠ABC + ½∠CBD = ½(∠ABC + ∠CBD).
По условию биссектрисы перпендикулярны, ∠MBN = 90°, поэтому ∠ABC + ∠CBD = 180°. Но ∠ABC + ∠CBD = ∠ABD (луч BC лежит между сторонами BA и BD), то есть ∠ABD = 180° — развёрнутый угол. Стороны развёрнутого угла лежат на одной прямой, значит, точки A, B и D лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Оговорка: углы ABC и CBD считаются смежными по лучу BC (стороны BA и BD по разные стороны от BC), как это подразумевается в условии.
∠MBN = ∠MBC + ∠CBN = ½∠ABC + ½∠CBD = ½(∠ABC + ∠CBD).
По условию биссектрисы перпендикулярны, ∠MBN = 90°, поэтому ∠ABC + ∠CBD = 180°. Но ∠ABC + ∠CBD = ∠ABD (луч BC лежит между сторонами BA и BD), то есть ∠ABD = 180° — развёрнутый угол. Стороны развёрнутого угла лежат на одной прямой, значит, точки A, B и D лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Оговорка: углы ABC и CBD считаются смежными по лучу BC (стороны BA и BD по разные стороны от BC), как это подразумевается в условии.
90. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m ⊥ a, n ⊥ b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.
Доказательство. Предположим, что прямые m и n совпадают. Тогда эта прямая (m = n) перпендикулярна и к прямой a, и к прямой b, то есть a и b — две прямые, перпендикулярные к третьей. Но две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12). Это противоречит условию: прямые a и b пересекаются. Значит, предположение неверно, и прямые m и n не совпадают. Что и требовалось доказать.
91. Найдите площадь и периметр прямоугольника, если прямоугольник сложили: а) из двух квадратов с периметрами 8 см; б) из трёх квадратов с периметрами 8 см; в) из четырёх квадратов с периметрами 8 см; г) из n (n — натуральное число, большее 1) квадратов с периметрами 8 см.
Периметр каждого квадрата 8 см, значит, сторона квадрата 8 : 4 = 2 см, а площадь 2 · 2 = 4 см². Складываем квадраты в ряд плотно, без пустот: получается прямоугольник со сторонами 2 см и 2k см (k — число квадратов). Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон, и она же равна сумме площадей квадратов.
а) k = 2: стороны 2 и 4; S = 2 · 4 = 8 см²; P = 2 · (2 + 4) = 12 см.
б) k = 3: стороны 2 и 6; S = 12 см²; P = 2 · (2 + 6) = 16 см.
в) k = 4: стороны 2 и 8; S = 16 см²; P = 2 · (2 + 8) = 20 см.
г) k = n: стороны 2 и 2n; S = 4n см²; P = 2 · (2 + 2n) = 4n + 4 см.
Ответ: а) 8 см², 12 см; б) 12 см², 16 см; в) 16 см², 20 см; г) 4n см², (4n + 4) см.
Оговорка: квадраты считаются сложенными в один ряд. Площадь не зависит от расположения квадратов и всегда равна 4n см², а периметр зависит от него: например, из четырёх квадратов можно сложить и квадрат 4 × 4 со сторонами 4 см (периметр 16 см).
а) k = 2: стороны 2 и 4; S = 2 · 4 = 8 см²; P = 2 · (2 + 4) = 12 см.
б) k = 3: стороны 2 и 6; S = 12 см²; P = 2 · (2 + 6) = 16 см.
в) k = 4: стороны 2 и 8; S = 16 см²; P = 2 · (2 + 8) = 20 см.
г) k = n: стороны 2 и 2n; S = 4n см²; P = 2 · (2 + 2n) = 4n + 4 см.
Ответ: а) 8 см², 12 см; б) 12 см², 16 см; в) 16 см², 20 см; г) 4n см², (4n + 4) см.
Оговорка: квадраты считаются сложенными в один ряд. Площадь не зависит от расположения квадратов и всегда равна 4n см², а периметр зависит от него: например, из четырёх квадратов можно сложить и квадрат 4 × 4 со сторонами 4 см (периметр 16 см).