Упражнения 75–81 — Глава I. §6 (окончание) и вопросы для повторения

Градус — угол, равный 1/180 части развёрнутого угла. Градусная мера угла — положительное число, показывающее, сколько раз градус и его части (минута — 1/60 градуса, секунда — 1/60 минуты) укладываются в данном угле. Измеряют углы транспортиром. Равные углы имеют равные градусные меры, а развёрнутый угол равен 180°.

Градусная мера всего угла равна сумме градусных мер его частей: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Угол называется прямым, если он равен 90°; острым, если он меньше 90° (меньше прямого); тупым, если он больше 90°, но меньше 180° (больше прямого, но меньше развёрнутого).

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой (лучами, образующими развёрнутый угол). Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. (Если углы 1 и 3 вертикальные, а угол 2 смежен с обоими, то ∠1 = 180° − ∠2 = ∠3.)

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Записывают a ⊥ b. (Достаточно, чтобы один из четырёх углов был прямым: остальные тогда тоже прямые как смежные и вертикальные.)

Пусть прямые AA1 и BB1 перпендикулярны к прямой PQ. Перегнём рисунок по прямой PQ. Так как углы 1 и 2 при точке P прямые и равны, луч PA наложится на луч PA1; аналогично луч QB наложится на луч QB1. Если бы прямые AA1 и BB1 пересекались в какой-то точке M, то при перегибании точка M совместилась бы с некоторой точкой M1, тоже лежащей на обеих прямых. Тогда через две точки M и M1 проходили бы две разные прямые, что невозможно (через две точки проходит только одна прямая). Значит, прямые не пересекаются.

Простейший прибор — экер: два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике; на концах брусков вбиты гвозди, так что прямые через них взаимно перпендикулярны. В геодезии применяют более совершенные приборы, например теодолит.

Выполнение. Отмечаем точки A, B, C, D, никакие три не лежат на одной прямой, и проводим прямые через все пары: AB, AC, AD, BC, BD, CD (на рисунке показаны отрезками).
Счёт: каждая точка соединяется с тремя другими, всего 4 · 3 = 12 соединений, но каждая прямая сосчитана дважды (AB и BA), поэтому 12 : 2 = 6. Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, все эти прямые различны.
Ответ: 6 прямых.

Каждая пара прямых пересекается ровно в одной точке (две прямые не могут иметь больше одной общей точки). Число пар из четырёх прямых: 4 · 3 : 2 = 6. Поскольку через каждую точку пересечения проходят только две прямые, разные пары дают разные точки.
Ответ: 6 точек.

Три прямые через одну точку O образуют шесть лучей с началом O. Любые два луча дают угол: число пар 6 · 5 : 2 = 15. Из них три пары — это пары лучей, лежащих на одной прямой (они образуют развёрнутые углы). Остаётся 15 − 3 = 12 неразвёрнутых углов.
Проверка: каждый из шести лучей образует неразвёрнутые углы с четырьмя другими лучами (кроме самого себя и противоположного), 6 · 4 : 2 = 12.
Ответ: 12 углов.

Так как N лежит на отрезке MP, MP = MN + NP. Пусть NP = x, тогда MN = 2x и 2x + x = 24, 3x = 24, x = 8.
а) NP = 8 см.
б) NM = 2 · 8 = 16 см.
Ответ: а) 8 см; б) 16 см.

Из трёх точек на прямой одна лежит между двумя другими. Рассмотрим случаи.
1) L между K и M: KM = KL + LM = 6 + 10 = 16 (см).
2) K между L и M: LM = LK + KM, значит KM = LM − LK = 10 − 6 = 4 (см).
3) M между K и L: тогда KL = KM + ML ≥ ML, а 6 < 10 — невозможно.
Чертежи двух возможных случаев на рисунке (масштаб: 1 см — 20 единиц).
Ответ: 16 см или 4 см.

Пусть PQ = QB = x, тогда AP = 2x и AB = AP + PQ + QB = 4x = a, откуда x = a/4. Измерим расстояния от точки A: P — на 2x, Q — на 3x, B — на 4x.
а) Середина QB находится на расстоянии 3x + x/2 = 3,5x = 3,5 · a/4 = 7a/8 от A.
б) Середина AP находится на расстоянии x от A, середина QB — на расстоянии 3,5x. Расстояние между ними 3,5x − x = 2,5x = 2,5 · a/4 = 5a/8.
Ответ: а) 7a/8; б) 5a/8.

а) Каждая часть равна m/3. Расстояние между серединами крайних частей равно всей длине без двух половин крайних частей: m − 2 · (m/6) = m − m/3 = 2m/3.
б) Каждая часть равна m/5: m − 2 · (m/10) = m − m/5 = 4m/5.
Ответ: а) 2m/3; б) 4m/5.