Глава I. §6. Перпендикулярные прямые — с. 25
58. Начертите острый угол AOB и на продолжении луча ОВ отметьте точку D. Сравните углы AOB и AOD.
Выполнение. Чертим острый угол AOB. Продолжаем луч OB за точку O до прямой и на продолжении ставим точку D (O между B и D). Лучи OB и OD образуют развёрнутый угол BOD, а углы AOB и AOD — смежные.
Сумма смежных углов равна 180°: ∠AOD = 180° − ∠AOB. Так как ∠AOB < 90°, то ∠AOD > 90° (тупой). Острый угол меньше тупого, поэтому
∠AOB < ∠AOD.
На рисунке синей дугой показан ∠AOB, красной — ∠AOD.
Оговорка: так как задание стоит в параграфе о смежных углах, точка D взята на продолжении луча OB за вершину O. Если же точку D отметить на самом луче OB за точкой B, лучи OB и OD совпадут, и тогда ∠AOB = ∠AOD (это один и тот же угол). Оба сайта с решениями читают условие именно так.
Сумма смежных углов равна 180°: ∠AOD = 180° − ∠AOB. Так как ∠AOB < 90°, то ∠AOD > 90° (тупой). Острый угол меньше тупого, поэтому
∠AOB < ∠AOD.
На рисунке синей дугой показан ∠AOB, красной — ∠AOD.
Оговорка: так как задание стоит в параграфе о смежных углах, точка D взята на продолжении луча OB за вершину O. Если же точку D отметить на самом луче OB за точкой B, лучи OB и OD совпадут, и тогда ∠AOB = ∠AOD (это один и тот же угол). Оба сайта с решениями читают условие именно так.
59. Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.
Выполнение. Чтобы построить угол, смежный с данным, продолжаем одну из его сторон за вершину в противоположный луч; новая сторона вместе с оставшейся образует смежный угол.
1) Острый угол, например 50°: смежный с ним угол равен 180° − 50° = 130° (тупой).
2) Прямой угол 90°: смежный равен 180° − 90° = 90° (тоже прямой).
3) Тупой угол, например 125°: смежный равен 180° − 125° = 55° (острый).
На рисунке заданные углы показаны красными дугами, смежные с ними — синими.
1) Острый угол, например 50°: смежный с ним угол равен 180° − 50° = 130° (тупой).
2) Прямой угол 90°: смежный равен 180° − 90° = 90° (тоже прямой).
3) Тупой угол, например 125°: смежный равен 180° − 125° = 55° (острый).
На рисунке заданные углы показаны красными дугами, смежные с ними — синими.
60. Начертите неразвёрнутый угол hk. Постройте угол h1k1 так, чтобы углы hk и h1k1 были вертикальными.
Выполнение. Вертикальные углы — углы, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Чертим ∠hk с вершиной O. Продолжаем луч h за точку O: получаем луч h1 (лучи h и h1 дополняют друг друга до прямой). Так же продолжаем луч k за точку O и получаем луч k1. Тогда стороны угла h1k1 — продолжения сторон угла hk, и эти углы вертикальные.
По свойству вертикальных углов ∠h1k1 = ∠hk (на рисунке построенный угол показан красным).
По свойству вертикальных углов ∠h1k1 = ∠hk (на рисунке построенный угол показан красным).
61. Начертите неразвёрнутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q вне его. С помощью чертёжного угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым OM и ON.
Выполнение. Чертим ∠MON, точку P ставим внутри угла, точку Q — вне него (на рисунке вне угла, выше стороны ON).
Чтобы провести прямую через данную точку перпендикулярно прямой, прикладываем к этой прямой линейку, к линейке — один катет чертёжного угольника так, чтобы второй катет (прямой угол) прошёл через данную точку, и проводим по нему прямую.
1) Через P перпендикулярно OM: прикладываем линейку к прямой OM, двигаем угольник, пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через P, проводим прямую.
2) Через P перпендикулярно ON — так же, прикладывая линейку к прямой ON.
3) Через Q — прямые, перпендикулярные OM и ON, тем же способом.
Всего получаются четыре прямые (синие — через P, зелёные — через Q); в точках пересечения с OM и ON образуются прямые углы. Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой, поэтому прямые построены однозначно. Для точки Q основание перпендикуляра может оказаться на продолжении стороны угла: тогда прямую OM или ON нужно продолжить.
Чтобы провести прямую через данную точку перпендикулярно прямой, прикладываем к этой прямой линейку, к линейке — один катет чертёжного угольника так, чтобы второй катет (прямой угол) прошёл через данную точку, и проводим по нему прямую.
1) Через P перпендикулярно OM: прикладываем линейку к прямой OM, двигаем угольник, пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через P, проводим прямую.
2) Через P перпендикулярно ON — так же, прикладывая линейку к прямой ON.
3) Через Q — прямые, перпендикулярные OM и ON, тем же способом.
Всего получаются четыре прямые (синие — через P, зелёные — через Q); в точках пересечения с OM и ON образуются прямые углы. Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой, поэтому прямые построены однозначно. Для точки Q основание перпендикуляра может оказаться на продолжении стороны угла: тогда прямую OM или ON нужно продолжить.
62. Найдите угол, смежный с углом ABC, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC = 15°.
Сумма смежных углов равна 180°, поэтому смежный угол равен 180° − ∠ABC.
а) 180° − 111° = 69°.
б) 180° − 90° = 90°.
в) 180° − 15° = 165°.
Ответ: а) 69°; б) 90°; в) 165°.
а) 180° − 111° = 69°.
б) 180° − 90° = 90°.
в) 180° − 15° = 165°.
Ответ: а) 69°; б) 90°; в) 165°.
63. Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?
Сумма смежных углов равна 180°, значит, второй угол равен 180° − 90° = 90°. Он тоже прямой.
Ответ: прямым.
Ответ: прямым.
64. Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?
Пусть смежные углы равны x. Их сумма равна 180°, поэтому 2x = 180°, x = 90°. Значит, оба угла прямые.
Ответ: верно.
Ответ: верно.
65. Найдите смежные углы hk и kl, если: а) ∠hk меньше ∠kl на 40°; б) ∠hk больше ∠kl на 120°; в) ∠hk больше ∠kl на 47°18′; г) ∠hk = 3∠kl; д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.
Смежные углы дают в сумме 180°: ∠hk + ∠kl = 180°. Пусть ∠kl = x.
а) ∠hk = x − 40°; 2x − 40° = 180°, x = 110°. ∠kl = 110°, ∠hk = 70°.
б) ∠hk = x + 120°; 2x + 120° = 180°, x = 30°. ∠kl = 30°, ∠hk = 150°.
в) ∠hk = x + 47°18′; 2x = 180° − 47°18′ = 132°42′, x = 66°21′. ∠kl = 66°21′, ∠hk = 66°21′ + 47°18′ = 113°39′.
г) ∠hk = 3x; 4x = 180°, x = 45°. ∠kl = 45°, ∠hk = 135°.
д) ∠hk = 5y, ∠kl = 4y; 9y = 180°, y = 20°. ∠hk = 100°, ∠kl = 80°.
Ответ: а) 70° и 110°; б) 150° и 30°; в) 113°39′ и 66°21′; г) 135° и 45°; д) 100° и 80°.
а) ∠hk = x − 40°; 2x − 40° = 180°, x = 110°. ∠kl = 110°, ∠hk = 70°.
б) ∠hk = x + 120°; 2x + 120° = 180°, x = 30°. ∠kl = 30°, ∠hk = 150°.
в) ∠hk = x + 47°18′; 2x = 180° − 47°18′ = 132°42′, x = 66°21′. ∠kl = 66°21′, ∠hk = 66°21′ + 47°18′ = 113°39′.
г) ∠hk = 3x; 4x = 180°, x = 45°. ∠kl = 45°, ∠hk = 135°.
д) ∠hk = 5y, ∠kl = 4y; 9y = 180°, y = 20°. ∠hk = 100°, ∠kl = 80°.
Ответ: а) 70° и 110°; б) 150° и 30°; в) 113°39′ и 66°21′; г) 135° и 45°; д) 100° и 80°.
66. На рисунке 52 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB = 148°. [рисунок 52: точки A, O, B лежат на одной прямой; лучи OC и OD идут вверх; ∠BOD = ∠COD отмечены дугами]
Луч OD лежит внутри угла COB и делит его на равные углы BOD и COD, значит, ∠BOD = ∠COB : 2 = 148° : 2 = 74°.
Углы AOD и BOD смежные (A, O, B на одной прямой), поэтому ∠AOD = 180° − ∠BOD = 180° − 74° = 106°.
Ответ: 106°.
Углы AOD и BOD смежные (A, O, B на одной прямой), поэтому ∠AOD = 180° − ∠BOD = 180° − 74° = 106°.
Ответ: 106°.
67. Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?
Пусть два угла равны α. Смежные с ними углы равны 180° − α каждый, то есть равны между собой (равные углы имеют равные градусные меры, а разность 180° − α одна и та же).
Ответ: да.
Ответ: да.
68. Найдите изображённые на рисунке 47 углы: а) 1, 3, 4, если ∠2 = 117°; б) 1, 2, 4, если ∠3 = 43°27′. [рисунок 47: две пересекающиеся прямые, углы 1 (слева), 2 (сверху), 3 (справа), 4 (снизу); углы 1 и 3, а также 2 и 4 вертикальные]
а) ∠2 = 117°. Угол 4 вертикален с углом 2, значит, ∠4 = ∠2 = 117°. Угол 1 смежен с углом 2: ∠1 = 180° − 117° = 63°. Угол 3 вертикален с углом 1: ∠3 = ∠1 = 63°.
б) ∠3 = 43°27′. Вертикальный ему угол 1: ∠1 = 43°27′. Угол 2 смежен с углом 3: ∠2 = 180° − 43°27′ = 136°33′. Вертикальный ему угол 4: ∠4 = 136°33′.
Ответ: а) ∠1 = ∠3 = 63°, ∠4 = 117°; б) ∠1 = 43°27′, ∠2 = ∠4 = 136°33′.
б) ∠3 = 43°27′. Вертикальный ему угол 1: ∠1 = 43°27′. Угол 2 смежен с углом 3: ∠2 = 180° − 43°27′ = 136°33′. Вертикальный ему угол 4: ∠4 = 136°33′.
Ответ: а) ∠1 = ∠3 = 63°, ∠4 = 117°; б) ∠1 = 43°27′, ∠2 = ∠4 = 136°33′.
69. Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трёх углов равна 220°.
При пересечении двух прямых получаются две пары равных вертикальных углов, а соседние углы смежные (в сумме 180°).
а) Сумма двух углов 114° меньше 180°, поэтому это не смежные углы; значит, это вертикальные углы, равные между собой: каждый равен 114° : 2 = 57°. Смежные с ними углы равны 180° − 57° = 123°. Углы: 57°, 57°, 123°, 123°.
б) Сумма всех четырёх углов 360°, поэтому четвёртый угол равен 360° − 220° = 140°. Вертикальный ему тоже 140°, а два других (смежные с ним) равны 180° − 140° = 40°. Углы: 40°, 40°, 140°, 140°.
Ответ: а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°.
а) Сумма двух углов 114° меньше 180°, поэтому это не смежные углы; значит, это вертикальные углы, равные между собой: каждый равен 114° : 2 = 57°. Смежные с ними углы равны 180° − 57° = 123°. Углы: 57°, 57°, 123°, 123°.
б) Сумма всех четырёх углов 360°, поэтому четвёртый угол равен 360° − 220° = 140°. Вертикальный ему тоже 140°, а два других (смежные с ним) равны 180° − 140° = 40°. Углы: 40°, 40°, 140°, 140°.
Ответ: а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°.