Глава I. §5. Измерение углов — с. 21
45. Начертите три неразвёрнутых угла и один развёрнутый угол и обозначьте их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠hk и ∠MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.
Выполнение. Чертим ∠AOB, ∠CDE и ∠hk — неразвёрнутые углы разной величины (острый, тупой и, например, прямой), и ∠MNP — развёрнутый: точки M, N, P лежат на одной прямой, N между M и P.
Измерение транспортиром: центр транспортира совмещаем с вершиной угла, нулевое деление — с одной из сторон; по шкале читаем деление, на которое приходится вторая сторона.
Пример записи результатов: ∠AOB = 40°, ∠CDE = 125°, ∠hk = 90°, ∠MNP = 180° (развёрнутый угол всегда равен 180°).
Оговорка: градусные меры первых трёх углов зависят от вашего чертежа; приведён пример.
Измерение транспортиром: центр транспортира совмещаем с вершиной угла, нулевое деление — с одной из сторон; по шкале читаем деление, на которое приходится вторая сторона.
Пример записи результатов: ∠AOB = 40°, ∠CDE = 125°, ∠hk = 90°, ∠MNP = 180° (развёрнутый угол всегда равен 180°).
Оговорка: градусные меры первых трёх углов зависят от вашего чертежа; приведён пример.
46. Начертите луч ОА и с помощью транспортира отложите от луча ОА углы AOB, АОС и AOD так, чтобы ∠AOB = 23°, ∠AOC = 67°, ∠AOD = 138°.
Выполнение. Проводим луч OA. Центр транспортира совмещаем с точкой O, нулевое деление шкалы — с лучом OA.
1) Против отметки 23° ставим точку B и проводим луч OB: ∠AOB = 23°.
2) Против отметки 67° ставим точку C и проводим луч OC: ∠AOC = 67°.
3) Против отметки 138° ставим точку D и проводим луч OD: ∠AOD = 138°.
Все три угла откладываются в одну полуплоскость от OA, поэтому лучи идут в порядке OA, OB, OC, OD; ∠BOC = 67° − 23° = 44°, ∠COD = 138° − 67° = 71°.
1) Против отметки 23° ставим точку B и проводим луч OB: ∠AOB = 23°.
2) Против отметки 67° ставим точку C и проводим луч OC: ∠AOC = 67°.
3) Против отметки 138° ставим точку D и проводим луч OD: ∠AOD = 138°.
Все три угла откладываются в одну полуплоскость от OA, поэтому лучи идут в порядке OA, OB, OC, OD; ∠BOC = 67° − 23° = 44°, ∠COD = 138° − 67° = 71°.
47. Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.
Выполнение. Чертим угол AOB = 70° (откладываем 70° транспортиром от луча OA). Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому каждый из них равен 70° : 2 = 35°.
Совмещаем центр транспортира с O, нулевое деление — с лучом OA, против отметки 35° ставим точку M и проводим луч OM. Тогда ∠AOM = 35° и ∠MOB = 70° − 35° = 35°: луч OM — биссектриса угла AOB.
Совмещаем центр транспортира с O, нулевое деление — с лучом OA, против отметки 35° ставим точку M и проводим луч OM. Тогда ∠AOM = 35° и ∠MOB = 70° − 35° = 35°: луч OM — биссектриса угла AOB.
48. Начертите угол AOB и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?
Выполнение. Измеряем ∠AOB = α. Если OA — биссектриса угла BOC, то ∠AOC = ∠AOB = α, а лучи OB и OC лежат по разные стороны от OA. Поэтому откладываем транспортиром от луча OA угол α в полуплоскость, не содержащую B, и проводим луч OC. Тогда ∠BOC = ∠BOA + ∠AOC = 2α, и OA делит его пополам.
Это выполнимо, когда 2α ≤ 180°, то есть когда α ≤ 90° (угол AOB острый или прямой). При α = 90° угол BOC развёрнутый, и OC — продолжение OB. Если же угол AOB тупой, то 2α > 180°, угол BOC не может быть больше развёрнутого, и построение невозможно.
Ответ: не всегда — только если угол AOB острый или прямой.
Это выполнимо, когда 2α ≤ 180°, то есть когда α ≤ 90° (угол AOB острый или прямой). При α = 90° угол BOC развёрнутый, и OC — продолжение OB. Если же угол AOB тупой, то 2α > 180°, угол BOC не может быть больше развёрнутого, и построение невозможно.
Ответ: не всегда — только если угол AOB острый или прямой.