Геометрия · 7 КЛАСС

Упражнения 33–43 — Глава I. §4. Измерение отрезков

Страница 18 · Геометрия Атанасян 7-9 класс

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов · Просвещение, 2024 · 15-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава I. §4. Измерение отрезков — с. 18

33. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если AB = 7,8 см, ВС = 25 мм.
Так как точка B делит отрезок AC, длина всего отрезка равна сумме длин частей: AC = AB + BC. Приведём длины к одной единице: BC = 25 мм = 2,5 см.
AC = 7,8 + 2,5 = 10,3 (см).
Ответ: 10,3 см.
34. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) AB = 3,7 см, АС = 7,2 см; б) AB = 4 мм, АС = 4 см.
Так как AC = AB + BC, то BC = AC − AB.
а) BC = 7,2 − 3,7 = 3,5 (см).
б) AC = 4 см = 40 мм, BC = 40 − 4 = 36 (мм).
Ответ: а) 3,5 см; б) 36 мм.
35. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
Три точки на одной прямой могут располагаться по-разному; рассмотрим, какая из них лежит между двумя другими.
1) B между A и C: AC = AB + BC = 12 + 13,5 = 25,5 (см).
2) A между B и C: тогда BC = BA + AC, откуда AC = BC − AB = 13,5 − 12 = 1,5 (см).
3) C между A и B: тогда AB = AC + CB, AC = AB − BC = 12 − 13,5 < 0 — невозможно.
Ответ: 25,5 см или 1,5 см.
36. Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD = 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние ВМ?
Рассмотрим возможные порядки точек.
1) D между B и M: BM = BD + DM = 7 + 16 = 23 (см).
2) B между D и M: DM = DB + BM, значит BM = DM − DB = 16 − 7 = 9 (см).
3) M между B и D: тогда BD = BM + MD ≥ MD, а 7 < 16 — невозможно.
Ответ: 9 см или 23 см.
37. Точка С — середина отрезка AB, равного 64 см. На луче СА отмечена точка D так, что CD = 15 см. Найдите длины отрезков BD и DA.
C — середина AB, поэтому AC = CB = 64 : 2 = 32 (см). Точка D лежит на луче CA на расстоянии 15 см от C; так как 15 < 32, точка D лежит между C и A.
BD = BC + CD = 32 + 15 = 47 (см) (C лежит между B и D).
DA = CA − CD = 32 − 15 = 17 (см).
Проверка: BD + DA = 47 + 17 = 64 = AB.
Ответ: BD = 47 см, DA = 17 см.
38. Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом приблизительно равно 650 км. Город Тверь находится между этими городами в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и Санкт-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.
Тверь лежит между Москвой и Санкт-Петербургом, поэтому расстояние Москва — Санкт-Петербург равно сумме расстояний Москва — Тверь и Тверь — Санкт-Петербург.
Тверь — Санкт-Петербург: 650 − 170 = 480 (км).
Ответ: приблизительно 480 км.
39. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, AB = 3 см, ВС = 4 см? Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков AB, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (AB + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.
Если три точки лежат на одной прямой, то одна из них находится между двумя другими, и расстояние между крайними точками равно сумме двух остальных расстояний. Значит, наибольший из трёх отрезков должен быть равен сумме двух других.
Здесь наибольший отрезок AC = 5 см. Сумма двух других: AB + BC = 3 + 4 = 7 см. Так как 5 ≠ 7, равенство не выполняется (и другие равенства тоже: 3 + 5 ≠ 4, 4 + 5 ≠ 3).
Ответ: нет, точки A, B, C не лежат на одной прямой.
40. Точка С — середина отрезка AB, точка О — середина отрезка АС. Найдите: а) АС, СВ, АО и ОB, если AB = 2 см; б) AB, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.
Порядок точек: A, O, C, B; AC = CB = AB : 2 и AO = OC = AC : 2.
а) AB = 2 см: AC = CB = 1 см; AO = 1 : 2 = 0,5 см; OB = OC + CB = 0,5 + 1 = 1,5 см.
б) CB = 3,2 м: AC = CB = 3,2 м, AB = 2 · 3,2 = 6,4 м; AO = 3,2 : 2 = 1,6 м; OB = AB − AO = 6,4 − 1,6 = 4,8 м.
Ответ: а) AC = 1 см, CB = 1 см, AO = 0,5 см, OB = 1,5 см; б) AB = 6,4 м, AC = 3,2 м, AO = 1,6 м, OB = 4,8 м.
41. На прямой отмечены точки О, A и B так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О: а) лежит на отрезке AB; б) не лежит на отрезке AB.
Пусть M — середина OA, N — середина OB. Тогда OM = 12 : 2 = 6 см, ON = 9 : 2 = 4,5 см.
а) O лежит между A и B, значит, A и B расположены по разные стороны от O, а M и N — тоже (M на луче OA, N на луче OB). Точка O лежит между M и N: MN = OM + ON = 6 + 4,5 = 10,5 (см).
б) O не лежит на отрезке AB, значит, A и B лежат по одну сторону от O, и M, N лежат на одном луче из точки O. Тогда MN = OM − ON = 6 − 4,5 = 1,5 (см).
Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см.
42. Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.
Пусть точка C делит отрезок AB = a на отрезки AC = x и CB = a − x. M — середина AC, N — середина CB. Тогда MC = x/2, CN = (a − x)/2, а точка C лежит между M и N.
MN = MC + CN = x/2 + (a − x)/2 = a/2.
Расстояние не зависит от выбора точки C.
Ответ: a/2.
43. Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.
Пусть части (по порядку) x, y, z; x + y + z = 28. Середина первой части находится на расстоянии x/2 от её правого конца, середина третьей — на расстоянии z/2 от её левого конца. Между серединами крайних отрезков лежат: половина первого, весь средний и половина третьего:
x/2 + y + z/2 = 16.
Из первого равенства x + z = 28 − y, поэтому (28 − y)/2 + y = 16, то есть 14 + y/2 = 16, y/2 = 2, y = 4.
Ответ: 4 см.