Глава I. §3. Сравнение отрезков и углов — с. 14
26. На рисунке 31 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, AOE; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС. Сравните углы BOC и BOD. [рисунок 31: из точки O выходят лучи OA, OB, OC, OD, OE, OF по порядку; угол 1 = AOB, 2 = BOC, 3 = COD, 4 = DOE, 5 = EOF — все равны]
Лучи расположены по порядку OA, OB, OC, OD, OE, OF, соседние лучи образуют равные углы 1, 2, 3, 4, 5 (∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠EOF).
а) ∠AOC = ∠1 + ∠2 — два равных угла по обе стороны от луча OB, поэтому его биссектриса — OB. ∠BOF = ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5; с каждой стороны от луча OD лежат по два равных угла (∠BOD = ∠2 + ∠3 и ∠DOF = ∠4 + ∠5, так что ∠BOD = ∠DOF), поэтому биссектриса — OD. ∠AOE = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 — по два угла по обе стороны от OC, биссектриса — OC.
б) Биссектрисой OC является для углов, у которых слева и справа от OC одинаковое число равных углов: ∠BOD (∠2 и ∠3) и ∠AOE (∠1 + ∠2 и ∠3 + ∠4).
Сравнение: ∠BOD = ∠BOC + ∠COD, то есть ∠BOC составляет часть ∠BOD, поэтому ∠BOC < ∠BOD.
Ответ: а) OB, OD, OC; б) ∠BOD и ∠AOE; ∠BOC < ∠BOD.
а) ∠AOC = ∠1 + ∠2 — два равных угла по обе стороны от луча OB, поэтому его биссектриса — OB. ∠BOF = ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5; с каждой стороны от луча OD лежат по два равных угла (∠BOD = ∠2 + ∠3 и ∠DOF = ∠4 + ∠5, так что ∠BOD = ∠DOF), поэтому биссектриса — OD. ∠AOE = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 — по два угла по обе стороны от OC, биссектриса — OC.
б) Биссектрисой OC является для углов, у которых слева и справа от OC одинаковое число равных углов: ∠BOD (∠2 и ∠3) и ∠AOE (∠1 + ∠2 и ∠3 + ∠4).
Сравнение: ∠BOD = ∠BOC + ∠COD, то есть ∠BOC составляет часть ∠BOD, поэтому ∠BOC < ∠BOD.
Ответ: а) OB, OD, OC; б) ∠BOD и ∠AOE; ∠BOC < ∠BOD.