Глава I. §3. Сравнение отрезков и углов — с. 13
21. На луче с началом О отмечены точки A, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки ОВ и ОА, ОС и ОА, ОВ и ОС.
Точки лежат на луче в порядке O, B, A, C (B между O и A, A между O и C).
Отрезок OB составляет часть отрезка OA, поэтому OB < OA.
Отрезок OA составляет часть отрезка OC, поэтому OC > OA.
Отрезок OB составляет часть отрезка OA, а тот — часть OC, значит, OB — часть OC и OB < OC.
Ответ: OB < OA; OC > OA; OB < OC.
Отрезок OB составляет часть отрезка OA, поэтому OB < OA.
Отрезок OA составляет часть отрезка OC, поэтому OC > OA.
Отрезок OB составляет часть отрезка OA, а тот — часть OC, значит, OB — часть OC и OB < OC.
Ответ: OB < OA; OC > OA; OB < OC.
22. Точка О является серединой отрезка AB. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОА и ОВ; б) ОА и AB?
а) Середина делит отрезок на два равных отрезка: OA = OB. Равные отрезки совмещаются наложением, так что отрезки OA и OB совместить можно.
б) Отрезок OA составляет часть отрезка AB (точка O лежит между A и B), то есть OA < AB, и при наложении, когда концы A совмещены, другие концы не совпадут. Совместить нельзя.
Ответ: а) да; б) нет.
б) Отрезок OA составляет часть отрезка AB (точка O лежит между A и B), то есть OA < AB, и при наложении, когда концы A совмещены, другие концы не совпадут. Совместить нельзя.
Ответ: а) да; б) нет.
23. На рисунке 30 отрезки AB, ВС, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков АС, АЕ и СЕ; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С. [рисунок 30: на одной прямой точки A, B, C, D, E в таком порядке, соседние точки на равных расстояниях]
Точки A, B, C, D, E лежат на прямой в этом порядке, и AB = BC = CD = DE.
а) AC = AB + BC, и AB = BC, значит, B — середина AC. AE = AB + BC + CD + DE: слева от C два равных отрезка (AB, BC) и справа два (CD, DE), поэтому C — середина AE. CE = CD + DE при CD = DE, поэтому D — середина CE.
б) D — середина отрезка CE: CD = DE. Другой пары точек, симметричных относительно D (например, B и F), нет: справа от E точек на рисунке нет.
в) Точка C — середина отрезков BD (BC = CD) и AE (AC = CE, каждый по двум отрезкам).
Ответ: а) B, C, D; б) CE; в) BD и AE.
а) AC = AB + BC, и AB = BC, значит, B — середина AC. AE = AB + BC + CD + DE: слева от C два равных отрезка (AB, BC) и справа два (CD, DE), поэтому C — середина AE. CE = CD + DE при CD = DE, поэтому D — середина CE.
б) D — середина отрезка CE: CD = DE. Другой пары точек, симметричных относительно D (например, B и F), нет: справа от E точек на рисунке нет.
в) Точка C — середина отрезков BD (BC = CD) и AE (AC = CE, каждый по двум отрезкам).
Ответ: а) B, C, D; б) CE; в) BD и AE.
24. Луч ОС делит угол AOB на два угла. Сравните углы AOB и АОС.
Луч OC проходит внутри угла AOB, поэтому угол AOC составляет часть угла AOB. Меньшим считается угол, составляющий часть другого.
Ответ: ∠AOC < ∠AOB.
Ответ: ∠AOC < ∠AOB.
25. Луч l — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и lk; б) hl и hk?
а) Биссектриса делит угол на два равных угла: ∠hl = ∠lk. Равные углы можно совместить наложением. Да.
б) Угол hl составляет часть угла hk (луч l проходит внутри угла hk), поэтому ∠hl < ∠hk, и совместить эти углы нельзя. Нет.
Ответ: а) да; б) нет.
б) Угол hl составляет часть угла hk (луч l проходит внутри угла hk), поэтому ∠hl < ∠hk, и совместить эти углы нельзя. Нет.
Ответ: а) да; б) нет.