Глава I. §2. Луч и угол — с. 11
12. Начертите три неразвёрнутых угла и обозначьте их так: ∠AOB, ∠hk, ∠M.
Выполнение. Угол — это точка (вершина) и два луча, выходящие из неё (стороны); неразвёрнутый угол — когда стороны не лежат на одной прямой.
1) Чертим угол с вершиной O, на сторонах отмечаем точки A и B; обозначаем ∠AOB.
2) Чертим угол, стороны которого обозначаем малыми буквами h и k; обозначение ∠hk.
3) Чертим угол с вершиной M, сторон не называем; обозначение ∠M.
Углы можно взять разной величины — острый, тупой, прямой; на рисунке показан один из вариантов.
1) Чертим угол с вершиной O, на сторонах отмечаем точки A и B; обозначаем ∠AOB.
2) Чертим угол, стороны которого обозначаем малыми буквами h и k; обозначение ∠hk.
3) Чертим угол с вершиной M, сторон не называем; обозначение ∠M.
Углы можно взять разной величины — острый, тупой, прямой; на рисунке показан один из вариантов.
13. Начертите два развёрнутых угла и обозначьте их буквами.
Развёрнутый угол — угол, стороны которого лежат на одной прямой и дополняют друг друга до прямой.
1) Проводим прямую, на ней отмечаем точку C; она делит прямую на два луча p и q. Получаем развёрнутый угол pq с вершиной C (дуга над прямой).
2) Проводим ещё одну прямую, отмечаем на ней точки M, N, P так, чтобы N лежала между M и P. Лучи NM и NP образуют развёрнутый угол MNP.
1) Проводим прямую, на ней отмечаем точку C; она делит прямую на два луча p и q. Получаем развёрнутый угол pq с вершиной C (дуга над прямой).
2) Проводим ещё одну прямую, отмечаем на ней точки M, N, P так, чтобы N лежала между M и P. Лучи NM и NP образуют развёрнутый угол MNP.
14. Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
Проводим из точки O три луча h, k, l, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Любые два луча с общим началом образуют угол, поэтому число углов равно числу пар лучей: h и k, k и l, h и l.
Ответ: три угла — ∠hk, ∠kl, ∠hl (на рисунке красная, зелёная и синяя дуги). Если бы какие-то два луча были продолжением друг друга, один из углов был бы развёрнутым.
Ответ: три угла — ∠hk, ∠kl, ∠hl (на рисунке красная, зелёная и синяя дуги). Если бы какие-то два луча были продолжением друг друга, один из углов был бы развёрнутым.
15. Начертите неразвёрнутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.
Выполнение. Чертим угол hk с вершиной O. Угол делит плоскость на внутреннюю область (между сторонами, внутри раствора угла) и внешнюю.
Внутри угла отмечаем точки P1 и P2 (красные); вне угла — точки Q1 и Q2 (синие); на сторонах угла — S1 на стороне h и S2 на стороне k (зелёные). Точки на сторонах не лежат ни внутри, ни вне угла: они принадлежат самому углу.
Внутри угла отмечаем точки P1 и P2 (красные); вне угла — точки Q1 и Q2 (синие); на сторонах угла — S1 на стороне h и S2 на стороне k (зелёные). Точки на сторонах не лежат ни внутри, ни вне угла: они принадлежат самому углу.
16. Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте точки А, В, М и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.
Выполнение. Внутренняя область угла выпукла: если обе точки лежат внутри неразвёрнутого угла, то весь отрезок между ними тоже лежит внутри. Поэтому достаточно взять точки A и B внутри угла — отрезок AB (красный) весь внутри.
Чтобы отрезок MN целиком лежал вне угла, берём точки M и N так, чтобы отрезок между ними не пересекал сторон угла и не заходил в его внутреннюю область: например, обе точки по одну сторону от вершины в области, лежащей вне угла (на рисунке слева от угла). Отрезок MN (синий) не имеет общих точек с углом.
Чтобы отрезок MN целиком лежал вне угла, берём точки M и N так, чтобы отрезок между ними не пересекал сторон угла и не заходил в его внутреннюю область: например, обе точки по одну сторону от вершины в области, лежащей вне угла (на рисунке слева от угла). Отрезок MN (синий) не имеет общих точек с углом.
17. Начертите неразвёрнутый угол AOB и проведите: а) луч ОС, который делит угол AOB на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.
Выполнение. Чертим ∠AOB.
а) Луч делит угол на два угла, если исходит из вершины и проходит внутри угла. Проводим луч OC из точки O внутри угла AOB (красный) — тогда ∠AOB состоит из углов AOC и COB.
б) Луч OD не делит угол AOC, если он не проходит внутри этого угла. Можно взять луч OD внутри ∠AOB по другую сторону от OC (между OC и OB) либо вне угла AOB. На рисунке луч OD (синий) проведён вне угла AOB, за стороной OB; он не проходит внутри угла AOC, и потому ∠AOC лучом OD на два угла не делится.
а) Луч делит угол на два угла, если исходит из вершины и проходит внутри угла. Проводим луч OC из точки O внутри угла AOB (красный) — тогда ∠AOB состоит из углов AOC и COB.
б) Луч OD не делит угол AOC, если он не проходит внутри этого угла. Можно взять луч OD внутри ∠AOB по другую сторону от OC (между OC и OB) либо вне угла AOB. На рисунке луч OD (синий) проведён вне угла AOB, за стороной OB; он не проходит внутри угла AOC, и потому ∠AOC лучом OD на два угла не делится.
18. Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении двух прямых?
Две пересекающиеся прямые образуют четыре луча с общим началом в точке пересечения. Рассмотрим пары соседних лучей: между каждыми двумя соседними лучами получается угол (их четыре: два угла и два им вертикальных). Пары лучей, лежащих на одной прямой, дают развёрнутые углы, а они не считаются.
Проверка: пар лучей 6 (четыре луча по два), из них 2 пары — продолжения друг друга (развёрнутые углы), остаётся 6 − 2 = 4.
Ответ: четыре угла.
Проверка: пар лучей 6 (четыре луча по два), из них 2 пары — продолжения друг друга (развёрнутые углы), остаётся 6 − 2 = 4.
Ответ: четыре угла.
19. Какие из точек, изображённых на рисунке 22, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла? [рисунок 22: угол hk с вершиной O; луч h горизонтальный вправо, луч k идёт вверх и влево; точки A и M внутри угла, точки B на стороне h, D на стороне k, точки C и N вне угла]
На рисунке угол hk с вершиной O: сторона h идёт вправо, сторона k — вверх и влево. Внутренняя область — между сторонами.
Внутри угла лежат точки A и M. Вне угла лежат точки C (она левее луча k) и N (она ниже луча h). Точки B (на стороне h) и D (на стороне k) лежат на сторонах угла — они не внутри и не вне.
Ответ: внутри — A, M; вне — C, N.
Внутри угла лежат точки A и M. Вне угла лежат точки C (она левее луча k) и N (она ниже луча h). Точки B (на стороне h) и D (на стороне k) лежат на сторонах угла — они не внутри и не вне.
Ответ: внутри — A, M; вне — C, N.
20. Какие из лучей, изображённых на рисунке 23, делят угол AOB на два угла? [рисунок 23: из точки O выходят лучи n (вертикально вверх), OA (вверх вправо, под углом около 35° к OB), l, h (между OA и OB), OB (горизонтально вправо), k (вниз вправо), m (вниз влево)]
Луч делит угол AOB на два угла, если выходит из вершины O и проходит внутри угла AOB, то есть между его сторонами OA и OB. Между лучами OA и OB расположены лучи l и h. Лучи n, k, m лежат вне угла AOB.
Ответ: лучи h и l.
Ответ: лучи h и l.