Глава I. §1. Прямая и отрезок — с. 9
7. На рисунке 14 изображена прямая, на ней отмечены точки A, B, C и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка В. [рисунок 14: прямая с точками A, B, C, D в указанном порядке слева направо]
Всего на прямой с четырьмя точками шесть отрезков: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
а) Точка C лежит на отрезках, у которых C — конец или C находится между концами: AC, AD, BC, BD, CD. Не содержит C только отрезок AB.
б) Точка B не лежит на отрезке, только если она не является его концом и не находится между концами. Такой отрезок один: CD (на AB, BC, BD точка B — конец, на AC и AD — внутренняя точка).
Ответ: а) AC, AD, BC, BD, CD; б) CD.
а) Точка C лежит на отрезках, у которых C — конец или C находится между концами: AC, AD, BC, BD, CD. Не содержит C только отрезок AB.
б) Точка B не лежит на отрезке, только если она не является его концом и не находится между концами. Такой отрезок один: CD (на AB, BC, BD точка B — конец, на AC и AD — внутренняя точка).
Ответ: а) AC, AD, BC, BD, CD; б) CD.
8. Начертите ломаную из трёх звеньев, которая: а) является замкнутой, б) не является замкнутой.
а) Замкнутая ломаная — та, у которой концы совпадают. Из трёх звеньев это треугольник: ломаная ABCA со звеньями AB, BC, CA (вершины A, B, C не лежат на одной прямой, соседние звенья не лежат на одной прямой).
б) Незамкнутая ломаная: берём четыре точки A, B, C, D так, чтобы соседние звенья AB, BC, CD не лежали на одной прямой, и соединяем их последовательно. Концы A и D не совпадают.
б) Незамкнутая ломаная: берём четыре точки A, B, C, D так, чтобы соседние звенья AB, BC, CD не лежали на одной прямой, и соединяем их последовательно. Концы A и D не совпадают.
9. Цифры почтового индекса записываются по определённым правилам (рис. 15) для удобства распознавания сортировочным автоматом. Укажите на рисунке цифры, в записи которых используются ломаные. Сколько звеньев у каждой ломаной?
Укажите замкнутую ломаную. Как называется многоугольник, образованный на рисунке замкнутой ломаной? [рисунок 15: цифры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0, составленные из прямолинейных отрезков в прямоугольной сетке]
Все цифры на рисунке составлены из отрезков, соединённых друг за другом, то есть ломаными. Считаем звенья (отрезки, соединённые в цепочку, из которых составлена цифра):
1 — 2 звена (наклонный отрезок и вертикальный);
2 — 4 звена (верхний горизонтальный, правый вертикальный, наклонный, нижний горизонтальный);
3 — 4 звена (верхний горизонтальный, наклонный, средний горизонтальный, наклонный);
4 — 4 звена (левая вертикаль, горизонталь, верхняя и нижняя части правой вертикали, разделённые точкой стыка с горизонталью);
5 — 5 звеньев;
6 — 5 звеньев (наклонный и четыре звена нижнего прямоугольника);
7 — 3 звена (верхний горизонтальный, наклонный, вертикальный);
8 — два прямоугольника с общей стороной, 7 отрезков;
9 — 5 звеньев (верхний прямоугольник из четырёх звеньев и наклонный отрезок);
0 — 4 звена.
Замкнутая ломаная: у цифры 0 (она вся — замкнутая ломаная из 4 звеньев); замкнутые ломаные есть также внутри цифр 6, 8 и 9. Многоугольник, образованный замкнутой ломаной цифры 0, — четырёхугольник (по виду — прямоугольник).
На рисунке цифры показаны по рис. 15: красным — незамкнутые части, синим — замкнутые ломаные (у цифр 6, 8, 9 и 0).
Оговорка: у цифры 4 правая вертикаль — один отрезок; если считать его целиком, звеньев будет 3. Цифры 6, 8, 9 составлены из отрезков, которые сходятся в общих точках, поэтому число звеньев у них зависит от того, как считать отрезки; приведён самый естественный подсчёт.
1 — 2 звена (наклонный отрезок и вертикальный);
2 — 4 звена (верхний горизонтальный, правый вертикальный, наклонный, нижний горизонтальный);
3 — 4 звена (верхний горизонтальный, наклонный, средний горизонтальный, наклонный);
4 — 4 звена (левая вертикаль, горизонталь, верхняя и нижняя части правой вертикали, разделённые точкой стыка с горизонталью);
5 — 5 звеньев;
6 — 5 звеньев (наклонный и четыре звена нижнего прямоугольника);
7 — 3 звена (верхний горизонтальный, наклонный, вертикальный);
8 — два прямоугольника с общей стороной, 7 отрезков;
9 — 5 звеньев (верхний прямоугольник из четырёх звеньев и наклонный отрезок);
0 — 4 звена.
Замкнутая ломаная: у цифры 0 (она вся — замкнутая ломаная из 4 звеньев); замкнутые ломаные есть также внутри цифр 6, 8 и 9. Многоугольник, образованный замкнутой ломаной цифры 0, — четырёхугольник (по виду — прямоугольник).
На рисунке цифры показаны по рис. 15: красным — незамкнутые части, синим — замкнутые ломаные (у цифр 6, 8, 9 и 0).
Оговорка: у цифры 4 правая вертикаль — один отрезок; если считать его целиком, звеньев будет 3. Цифры 6, 8, 9 составлены из отрезков, которые сходятся в общих точках, поэтому число звеньев у них зависит от того, как считать отрезки; приведён самый естественный подсчёт.
10. Начертите пятиугольник, как на рисунке 9. Разбейте его на треугольники так, чтобы у пятиугольника и каждого треугольника были общие стороны. Сколько треугольников может получиться на чертеже?
Какие ещё многоугольники получились на чертеже?
Выполнение. Чертим пятиугольник ABCDE и из вершины A проводим диагонали AC и AD (красные). Они разбивают его на треугольники ABC, ACD и ADE; у каждого из них есть общая сторона с пятиугольником (AB и BC; CD; DE и EA).
Число треугольников: 3. Это не случайно: диагонали, не пересекающиеся внутри пятиугольника и проведённые из одной вершины, всегда дают n − 2 = 3 треугольника (так же получится и при разбиении диагоналями AC и CE: треугольники ABC, CDE, ACE).
Другие многоугольники на чертеже: четырёхугольники ABCD (составлен из треугольников ABC и ACD) и ACDE (составлен из ACD и ADE), а также сам пятиугольник ABCDE.
Число треугольников: 3. Это не случайно: диагонали, не пересекающиеся внутри пятиугольника и проведённые из одной вершины, всегда дают n − 2 = 3 треугольника (так же получится и при разбиении диагоналями AC и CE: треугольники ABC, CDE, ACE).
Другие многоугольники на чертеже: четырёхугольники ABCD (составлен из треугольников ABC и ACD) и ACDE (составлен из ACD и ADE), а также сам пятиугольник ABCDE.