Глава I. §1. Прямая и отрезок — с. 8
1. Проведите прямую, обозначьте её буквой а и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой а, используя символы ∈ и ∉.
Выполнение. С помощью линейки проводим прямую и подписываем её буквой а. На прямой отмечаем две точки и обозначаем их A и B. Вне прямой отмечаем три точки и обозначаем их P, Q, R.
Расположение точек: A ∈ a, B ∈ a (точки A и B лежат на прямой а); P ∉ a, Q ∉ a, R ∉ a (точки P, Q, R не лежат на прямой а). Прямая а проходит через A и B и не проходит через P, Q, R.
Расположение точек: A ∈ a, B ∈ a (точки A и B лежат на прямой а); P ∉ a, Q ∉ a, R ∉ a (точки P, Q, R не лежат на прямой а). Прямая а проходит через A и B и не проходит через P, Q, R.
2. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько прямых получилось?
Выполнение. Отмечаем точки A, B, C так, чтобы они не лежали на одной прямой, и с помощью линейки проводим прямые AB, BC и AC. Через каждые две точки проходит ровно одна прямая, поэтому получилось три прямые (по числу пар точек: AB, BC, AC).
Ответ: 3 прямые.
Ответ: 3 прямые.
3. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек?
Рассмотрите все возможные случаи.
Выполнение. Две прямые имеют не более одной общей точки, поэтому три прямые могут расположиться двумя способами.
1) Все три прямые проходят через одну точку O. Тогда все пары прямых пересекаются в точке O, получилась 1 точка.
2) Через одну точку проходят не все три прямые. Тогда каждая пара пересекается в своей точке: прямые a и b в точке A, a и c в точке B, b и c в точке C; эти три точки различны (иначе все три прямые проходили бы через одну точку). Получилось 3 точки.
Ответ: 1 точка (прямые пересекаются в одной точке) или 3 точки.
1) Все три прямые проходят через одну точку O. Тогда все пары прямых пересекаются в точке O, получилась 1 точка.
2) Через одну точку проходят не все три прямые. Тогда каждая пара пересекается в своей точке: прямые a и b в точке A, a и c в точке B, b и c в точке C; эти три точки различны (иначе все три прямые проходили бы через одну точку). Получилось 3 точки.
Ответ: 1 точка (прямые пересекаются в одной точке) или 3 точки.
4. Отметьте точки A, B, C, D так, чтобы точки A, B, C лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
Выполнение. Проводим прямую и отмечаем на ней A, B, C; точку D берём вне этой прямой. Три точки A, B, C лежат на одной прямой, поэтому прямые AB, BC и AC совпадают — это одна прямая (чёрная). Кроме неё, проводим прямые DA, DB и DC (красные). Они различны, так как каждая проходит через D и через разные точки данной прямой; никакая из них не совпадает с прямой ABC, ведь D на ней не лежит.
Ответ: 4 прямые.
Ответ: 4 прямые.
5. Проведите прямую а и отметьте на ней точки A и B. Отметьте: а) точки М и N, лежащие на отрезке AB; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке AB; в) точки R и S, не лежащие на прямой а.
Выполнение (отрезок AB выделен синим).
а) Отрезок AB — часть прямой между A и B, включая концы. Берём две точки между A и B и называем их M и N: M ∈ AB, N ∈ AB.
б) Берём точки на прямой а вне промежутка между A и B: точку P слева от A и точку Q справа от B. Они лежат на прямой а, но не принадлежат отрезку AB.
в) Точки R и S ставим вне прямой а (по любую сторону от неё): R ∉ a, S ∉ a.
Порядок точек на прямой: P, A, M, N, B, Q.
а) Отрезок AB — часть прямой между A и B, включая концы. Берём две точки между A и B и называем их M и N: M ∈ AB, N ∈ AB.
б) Берём точки на прямой а вне промежутка между A и B: точку P слева от A и точку Q справа от B. Они лежат на прямой а, но не принадлежат отрезку AB.
в) Точки R и S ставим вне прямой а (по любую сторону от неё): R ∉ a, S ∉ a.
Порядок точек на прямой: P, A, M, N, B, Q.
6. Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
Пусть на прямой отмечены точки A, B, C (в таком порядке). Отрезком считаем часть прямой, ограниченную двумя из отмеченных точек. Получаем отрезки AB, BC и AC — по одному на каждую пару точек.
Ответ: 3 отрезка.
Ответ: 3 отрезка.