Глава I. §5. Измерение углов — с. 22
49. Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?
Градусная мера показывает, сколько раз градус и его части укладываются в угле. Если градусные меры равны, то в обоих углах градус (и его части) укладывается одинаковое число раз, поэтому при наложении углы совместятся: сами углы равны (равные углы имеют равные градусные меры и наоборот).
Ответ: да.
Ответ: да.
50. На рисунке 43 изображены лучи с общим началом О. а) Найдите градусные меры углов AОХ, BOX, AOB, СОВ, DOX; б) назовите углы, равные 20°; в) назовите равные углы; г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градусные меры. [рисунок 43: транспортир; лучи OX (0°), OA, OB, OC, OD и OZ (180°); по шкале транспортира луч OA проходит через деление 40°, OB — 60°, OC — 80°, OD — 130°]
Читаем по шкале транспортира, у которой 0° на луче OX: OA — 40°, OB — 60°, OC — 80°, OD — 130°, OZ — 180°.
а) ∠AOX = 40°, ∠BOX = 60°, ∠DOX = 130°. ∠AOB = 60° − 40° = 20°, ∠COB = 80° − 60° = 20°.
б) 20° составляют углы AOB и BOC.
в) Равны ∠AOB и ∠BOC (по 20°); ∠XOA и ∠AOC (по 40°: 80° − 40° = 40°); ∠COD и ∠DOZ (130° − 80° = 50° и 180° − 130° = 50°).
г) Углы со стороной OA: ∠AOX = 40°, ∠AOB = 20°, ∠AOC = 80° − 40° = 40°, ∠AOD = 130° − 40° = 90°, ∠AOZ = 180° − 40° = 140°.
Оговорка: показания шкалы читались по рисунку (с точностью до целых градусов); при другом чтении значения могут чуть отличаться.
а) ∠AOX = 40°, ∠BOX = 60°, ∠DOX = 130°. ∠AOB = 60° − 40° = 20°, ∠COB = 80° − 60° = 20°.
б) 20° составляют углы AOB и BOC.
в) Равны ∠AOB и ∠BOC (по 20°); ∠XOA и ∠AOC (по 40°: 80° − 40° = 40°); ∠COD и ∠DOZ (130° − 80° = 50° и 180° − 130° = 50°).
г) Углы со стороной OA: ∠AOX = 40°, ∠AOB = 20°, ∠AOC = 80° − 40° = 40°, ∠AOD = 130° − 40° = 90°, ∠AOZ = 180° − 40° = 140°.
Оговорка: показания шкалы читались по рисунку (с точностью до целых градусов); при другом чтении значения могут чуть отличаться.
51. Луч ОЕ делит угол AOB на два угла. Найдите угол AOB, если: a) ∠AOE = 44°, ∠EOB = 77°; б) ∠AOE = 12°37′, ∠EOB = 108°25′.
Луч OE делит угол AOB, значит, ∠AOB = ∠AOE + ∠EOB.
а) 44° + 77° = 121°.
б) 12°37′ + 108°25′ = 120°62′. Так как 1° = 60′, то 62′ = 1°2′, и сумма равна 121°2′.
Ответ: а) 121°; б) 121°2′.
а) 44° + 77° = 121°.
б) 12°37′ + 108°25′ = 120°62′. Так как 1° = 60′, то 62′ = 1°2′, и сумма равна 121°2′.
Ответ: а) 121°; б) 121°2′.
52. Луч ОС делит угол AOB на два угла. Найдите угол СОВ, если ∠AOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла ВОС.
Пусть ∠COB = x, тогда ∠AOC = x − 18°. Так как ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, получаем (x − 18°) + x = 78°, откуда 2x = 96°, x = 48°.
Проверка: ∠AOC = 30°, 30° + 48° = 78°.
Ответ: ∠COB = 48°.
Проверка: ∠AOC = 30°, 30° + 48° = 78°.
Ответ: ∠COB = 48°.
53. Луч ОС делит угол AOB на два угла. Найдите угол АОС, если ∠AOB = 155°, a угол АОС на 15° больше угла СОВ.
Пусть ∠COB = x, тогда ∠AOC = x + 15°. Сумма: (x + 15°) + x = 155°, 2x = 140°, x = 70°. Значит, ∠AOC = 70° + 15° = 85°.
Проверка: 85° + 70° = 155°.
Ответ: 85°.
Проверка: 85° + 70° = 155°.
Ответ: 85°.
54. Угол AOB является частью угла АОС. Известно, что ∠AOC = 108°, ∠AOB = 3∠BOC. Найдите угол AOB.
Угол AOB — часть угла AOC, значит, луч OB лежит внутри угла AOC и ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC. Пусть ∠BOC = x, тогда ∠AOB = 3x и 3x + x = 108°, 4x = 108°, x = 27°. Отсюда ∠AOB = 3 · 27° = 81°.
Ответ: 81°.
Ответ: 81°.
55. На рисунке 44 угол AOD — прямой, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD. Найдите угол, образованный биссектрисами углов AOB и COD. [рисунок 44: из точки O выходят лучи OD (горизонтально вправо), OC, OB, OA (вертикально вверх) и два чёрных луча — биссектрисы углов AOB и COD; отмечены равные углы AOB, BOC, COD и прямой угол AOD]
∠AOD = 90° и ∠AOB = ∠BOC = ∠COD, значит, каждый из них равен 90° : 3 = 30°.
Биссектриса угла AOB образует с OA и с OB углы по 15°, биссектриса угла COD — с OC и с OD углы по 15°. Угол между биссектрисами состоит из половины угла AOB (15°), всего угла BOC (30°) и половины угла COD (15°):
15° + 30° + 15° = 60°.
Ответ: 60°.
Биссектриса угла AOB образует с OA и с OB углы по 15°, биссектриса угла COD — с OC и с OD углы по 15°. Угол между биссектрисами состоит из половины угла AOB (15°), всего угла BOC (30°) и половины угла COD (15°):
15° + 30° + 15° = 60°.
Ответ: 60°.
56. На рисунке 45 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ∠UOV = 80°. [рисунок 45: из точки O выходят лучи OZ (влево), OV, OY, OU, OX (вправо вверх); равные углы отмечены дугами; угол XOZ — неразвёрнутый, луч OY лежит внутри него]
Луч OY лежит внутри угла XOZ. Так как OV — биссектриса ∠ZOY, то ∠VOY = ½∠ZOY. Так как OU — биссектриса ∠XOY, то ∠YOU = ½∠YOX. Луч OY лежит внутри угла VOU, поэтому
∠UOV = ∠VOY + ∠YOU = ½∠ZOY + ½∠YOX = ½(∠ZOY + ∠YOX) = ½∠XOZ.
Отсюда ∠XOZ = 2 · ∠UOV = 2 · 80° = 160°.
Ответ: 160°.
∠UOV = ∠VOY + ∠YOU = ½∠ZOY + ½∠YOX = ½(∠ZOY + ∠YOX) = ½∠XOZ.
Отсюда ∠XOZ = 2 · ∠UOV = 2 · 80° = 160°.
Ответ: 160°.
57. Луч l является биссектрисой неразвёрнутого угла hk. Может ли угол hl быть прямым или тупым?
Так как l — биссектриса, ∠hl = ½∠hk. Угол hk неразвёрнутый, поэтому ∠hk < 180°, и тогда ∠hl < 180° : 2 = 90°. Значит, угол hl всегда острый; прямым или тупым он быть не может.
Ответ: нет.
Ответ: нет.