Упражнения 70–74 — Глава I. §6. Перпендикулярные прямые

Вертикальные углы равны: ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4; смежные дают 180°: ∠1 + ∠2 = 180°.
а) ∠2 + ∠4 = 220° и ∠2 = ∠4, значит ∠2 = ∠4 = 110°. Тогда ∠1 = ∠3 = 180° − 110° = 70°.
б) Сумма всех четырёх углов 360°: (∠1 + ∠3) + (∠2 + ∠4) = 360°. По условию ∠2 + ∠4 = 3(∠1 + ∠3), поэтому 4(∠1 + ∠3) = 360°, ∠1 + ∠3 = 90°, ∠1 = ∠3 = 45°; ∠2 = ∠4 = 180° − 45° = 135°.
в) ∠2 − ∠1 = 30° и ∠2 + ∠1 = 180°. Складываем: 2∠2 = 210°, ∠2 = 105°, ∠1 = 75°. Тогда ∠3 = 75°, ∠4 = 105°.
Ответ: а) ∠2 = ∠4 = 110°, ∠1 = ∠3 = 70°; б) ∠1 = ∠3 = 45°, ∠2 = ∠4 = 135°; в) ∠1 = ∠3 = 75°, ∠2 = ∠4 = 105°.

Угол 3 вертикален с углом, образованным двумя наклонными прямыми над точкой O (между правым верхним и левым верхним лучами). Значит, этот верхний угол тоже равен ∠3.
В верхней полуплоскости лучи горизонтальной прямой образуют развёрнутый угол, и он разбит лучами на три угла: ∠1, верхний угол между наклонными (равный ∠3) и ∠2. Их сумма равна развёрнутому углу: ∠1 + ∠3 + ∠2 = 180°.
Ответ: 180°.

Лучи расположены по кругу в порядке OA, OB, OC, OD, OE, OF; OA и OD, OB и OE, OC и OF — продолжения друг друга.
∠BOC вертикален с ∠FOE: ∠BOC = 70°. Тогда ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 50° + 70° = 120°.
∠DOE вертикален с ∠AOB: ∠DOE = 50°. ∠COD смежен с ∠AOC (лучи OA и OD дополняют друг друга до прямой, C — по одну сторону от них): ∠COD = 180° − 120° = 60°.
∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 70° + 60° = 130°.
∠COE = ∠COD + ∠DOE = 60° + 50° = 110°.
Угол между прямыми AD и FC — наименьший из четырёх углов, образованных этими прямыми: ∠COD = 60° (другой угол 120°).
Ответ: ∠AOC = 120°, ∠BOD = 130°, ∠COE = 110°, угол между прямыми AD и FC равен 60°.

Допустим, что обе прямые AP и AQ перпендикулярны прямой a. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Но прямые AP и AQ пересекаются в точке A (они различны, так как P и Q лежат на разных сторонах неразвёрнутого угла A). Получили противоречие, значит, допущение неверно.
Ответ: нет.

Доказательство. Предположим противное: среди трёх прямых не менее двух перпендикулярны к a. Тогда существуют две различные прямые, проходящие через точку A и перпендикулярные к a. Но две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12). А наши прямые имеют общую точку A — противоречие.
Значит, перпендикулярной к a может быть не более одной из трёх прямых, то есть по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой a. Что и требовалось доказать.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Ответ: одну.

Две различные прямые либо имеют только одну общую точку (пересекаются), либо не имеют общих точек. Две общие точки они иметь не могут: иначе через эти две точки проходили бы две разные прямые. Ответ: одну или ни одной.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок AB содержит точки A и B и все точки прямой AB, лежащие между A и B.

Ломаная — фигура, составленная из отрезков, последовательно соединённых так, что смежные отрезки (то есть имеющие общий конец) не лежат на одной прямой. Отрезки, из которых составлена ломаная, называются звеньями, а их концы — вершинами ломаной. Ломаная может быть замкнутой (концы совпадают) и незамкнутой.

Замкнутая ломаная, у которой несмежные звенья не имеют общих точек, называется многоугольником. Звенья ломаной — стороны многоугольника, вершины ломаной — вершины многоугольника.

Точка O на прямой делит её на две части; каждая из них называется лучом, исходящим из точки O, а O — началом луча. Луч обозначают либо малой латинской буквой (луч h), либо двумя большими: первая — начало луча, вторая — какая-нибудь точка на луче (луч OA).

Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Обозначают ∠hk, ∠AOB (вершина в середине) или ∠O.

Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой (каждая сторона является продолжением другой). Развёрнутый угол равен 180°.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Накладываем один отрезок на другой так, чтобы конец одного совместился с концом другого, а сами отрезки пошли по одному лучу. Если и вторые концы совместились, отрезки равны. Если нет, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. Можно также сравнить длины отрезков: меньший отрезок имеет меньшую длину.

Серединой отрезка называется точка отрезка, делящая его пополам, то есть на два равных отрезка.

Накладываем один угол на другой так, чтобы вершины и одна из сторон совместились, а две другие стороны оказались по одну сторону от совместившихся. Если вторые стороны тоже совместились, углы равны. Если нет, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. Можно сравнить и градусные меры: меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Длина всего отрезка равна сумме длин его частей: AB = AC + CB.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев.

Три. Многоугольник с тремя вершинами — треугольник; замкнутой ломаной из двух звеньев не существует (смежные звенья не должны лежать на одной прямой, а два отрезка с общими концами совпали бы).

Периметр многоугольника — длина замкнутой ломаной, образующей его; чтобы найти периметр, нужно сложить длины всех его сторон.

Для измерения расстояний пользуются разными инструментами: масштабной (миллиметровой) линейкой — на чертежах; штангенциркулем — для измерения, например, диаметра трубки, с точностью до 0,1 мм; рулеткой — для измерения расстояний на местности.