Упражнения 161–168 — Глава II. §4. Задачи на построение; вопросы для…

Определением называется предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия.
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка — центр окружности. Радиус — отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности (все радиусы равны). Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; он вдвое больше радиуса.

Пусть дан луч OC и отрезок AB. Циркулем строим окружность с центром O и радиусом, равным AB (раствор циркуля равен длине AB). Она пересекает луч OC в некоторой точке D. Отрезок OD — искомый: OD = AB как радиус этой окружности.

Пусть дан угол A и луч OM. 1. Проводим окружность произвольного радиуса с центром A; она пересекает стороны угла в точках B и C. 2. Окружностью того же радиуса с центром O отмечаем на луче OM точку D. 3. Строим окружность с центром D и радиусом BC. Она пересекает окружность с центром O в точке E. Угол MOE — искомый. Доказательство: треугольники ABC и ODE равны по трём сторонам (AB = OD, AC = OE как радиусы равных окружностей, BC = DE по построению), поэтому ∠DOE = ∠BAC.

Пусть дан угол KAM. 1. Проводим окружность произвольного радиуса с центром A; она пересекает стороны угла в точках B и C. 2. Проводим две окружности одинакового радиуса BC (можно взять любой радиус, больший половины BC) с центрами B и C. Они пересекаются в точке E внутри угла. 3. Проводим луч AE — это биссектриса. Доказательство: треугольники ACE и ABE равны по трём сторонам (AE — общая, AC = AB как радиусы, CE = BE по построению), поэтому ∠CAE = ∠BAE.

Пусть дана прямая a и точка M на ней. 1. На лучах прямой a, исходящих из M, откладываем равные отрезки MA и MB (одним раствором циркуля). 2. Строим две окружности с центрами A и B и радиусом AB; они пересекаются в двух точках P и Q. 3. Проводим прямую MP — она перпендикулярна к a. Доказательство: PM — медиана равнобедренного треугольника PAB (PA = PB как радиусы равных окружностей, M — середина AB), а медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и высотой, значит, PM ⊥ AB, то есть PM ⊥ a.

Пусть дан отрезок AB. 1. Строим две окружности с центрами A и B и радиусом AB; они пересекаются в точках P и Q. 2. Проводим прямую PQ; точка O её пересечения с отрезком AB — середина AB. Доказательство: треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам (PA = PB, QA = QB, PQ — общая), поэтому ∠APQ = ∠BPQ, то есть PO — биссектриса равнобедренного треугольника APB, а значит, и его медиана: AO = OB. Прямая PQ при этом перпендикулярна к AB (серединный перпендикуляр).

Пусть AB = x см. Тогда BC = x + 2, AC = x + 1. Периметр: x + (x + 2) + (x + 1) = 3x + 3 = 15, откуда x = 4.
AB = 4 см, BC = 6 см, AC = 5 см.
Ответ: AB = 4 см, BC = 6 см, AC = 5 см.

Пусть боковая сторона равна a см. Тогда основание a + 2 (больше боковой на 2 см) и одновременно 2a − 3 (меньше суммы боковых сторон 2a на 3 см). Приравниваем: a + 2 = 2a − 3, a = 5. Основание 5 + 2 = 7 см.
Проверка: 7 + 5 > 5, такой треугольник существует.
Ответ: 7 см, 5 см и 5 см.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, BC = 8 см — основание, AB = AC = x. BM — медиана, проведённая к боковой стороне AC, M — середина AC, AM = MC. Периметры треугольников: P(ABM) = AB + AM + BM, P(BCM) = BC + CM + BM. Слагаемые AM = CM и BM у обоих периметров одинаковы, поэтому разность периметров равна разности сторон AB и BC: |x − 8| = 2.
Отсюда x = 10 или x = 6. Оба значения подходят (треугольники со сторонами 10, 10, 8 и 6, 6, 8 существуют).
Ответ: 10 см или 6 см.

Пусть ABC и A1B1C1 — равнобедренные треугольники с основаниями BC и B1C1: AB = AC, A1B1 = A1C1, AB = A1B1 и ∠A = ∠A1 (углы, противолежащие основаниям). Тогда AC = AB = A1B1 = A1C1. Итак, AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1, и треугольники равны по первому признаку (две стороны и угол между ними; угол при вершине равнобедренного треугольника заключён между боковыми сторонами).

Пусть O — середина AB, a ⊥ AB и a проходит через O.
а) Пусть M — точка прямой a. Если M = O, то MA = MB. Иначе рассмотрим треугольники AOM и BOM: AO = BO, OM — общая сторона, ∠AOM = ∠BOM = 90°. Значит, △AOM = △BOM по первому признаку, и MA = MB.
б) Пусть MA = MB. Если M лежит на прямой AB, то M — середина AB (единственная точка отрезка AB, равноудалённая от концов; точка вне отрезка на этой прямой не может быть равноудалена), то есть M = O и M лежит на a. Если M не лежит на прямой AB, то треугольник AMB равнобедренный с основанием AB, и MO — его медиана. Медиана, проведённая к основанию, является высотой: MO ⊥ AB. Через точку O к прямой AB проходит только одна перпендикулярная прямая — это прямая a. Значит, M лежит на a.

M и M1 — середины BC и B1C1, поэтому BM = BC/2 = B1C1/2 = B1M1. В треугольниках ABM и A1B1M1: AM = A1M1, BM = B1M1, ∠AMB = ∠A1M1B1. Значит, △ABM = △A1B1M1 по первому признаку, откуда AB = A1B1 и ∠B = ∠B1. Теперь в треугольниках ABC и A1B1C1: AB = A1B1, BC = B1C1, ∠B = ∠B1, и они равны по первому признаку.

Дано: AD = AE, ∠D = ∠E (углы при основании равнобедренного треугольника ADE). Лучи из A идут в порядке AD, AB, AC, AE.
а) Пусть BD = CE. Треугольники ADB и AEC: AD = AE, ∠D = ∠E, BD = CE. Значит, △ADB = △AEC по первому признаку, откуда AB = AC и ∠DAB = ∠EAC. Тогда ∠CAD = ∠DAB + ∠BAC = ∠EAC + ∠BAC = ∠BAE.
б) Пусть ∠CAD = ∠BAE. Тогда ∠DAB = ∠CAD − ∠BAC = ∠BAE − ∠BAC = ∠CAE. Треугольники ADB и AEC: AD = AE, ∠D = ∠E, ∠DAB = ∠EAC. Значит, △ADB = △AEC по второму признаку, откуда BD = CE и AB = AC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, K — середина AB, L — середина AC, M — середина BC. Тогда BK = AB/2 = AC/2 = CL, BM = MC, ∠B = ∠C. Треугольники KBM и LCM: BK = CL, BM = CM, ∠B = ∠C. Значит, △KBM = △LCM по первому признаку, откуда KM = LM. Следовательно, треугольник KLM равнобедренный с основанием KL.