Глава IV. §3. Прямоугольные треугольники — с. 79
259. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике прямой угол не может быть при основании равнобедренного треугольника (два прямых угла в треугольнике невозможны), поэтому он лежит при вершине, а равные катеты — боковые стороны. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, и они равны, значит, каждый равен 45°.
Ответ: 45°, 45°, 90°.
Ответ: 45°, 45°, 90°.
260. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°.
Углы при основании CE равны: ∠C = ∠E = (180° − 54°) : 2 = 63°. Треугольник остроугольный, поэтому основание F высоты CF лежит на стороне DE. В прямоугольном треугольнике CFE ∠E = 63°, значит, ∠ECF = 90° − 63° = 27°.
Ответ: 27°.
Ответ: 27°.
261. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Острые углы треугольника 60° и 30°. Меньший катет лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы c. Тогда c + c/2 = 26,4, откуда 3c/2 = 26,4 и c = 17,6 см.
Ответ: 17,6 см.
Ответ: 17,6 см.
262. В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + AB = 18 см. Найдите АС и AB.
Внешний угол при вершине A равен 120°, поэтому ∠A = 180° − 120° = 60°. Тогда ∠B = 90° − 60° = 30°. Катет AC лежит против угла 30°, значит, AC = AB/2. Условие AC + AB = 18 дает AB/2 + AB = 18, 3AB/2 = 18, AB = 12 см, AC = 6 см.
Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.
Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.
263. Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если AB = 12 см.
BC = 12 см, D — середина BC, поэтому CD = 6 см. Угол C равен 60°. В прямоугольном треугольнике CMD (угол M прямой) ∠CDM = 90° − 60° = 30°, значит, катет CM, лежащий против угла 30°, равен CD/2 = 3 см. Так как ∠C острый, точка M лежит на стороне AC, поэтому AM = AC − CM = 12 − 3 = 9 см.
Ответ: 9 см.
Ответ: 9 см.
264. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, ∠B = 120°. Тогда ∠A = ∠C = 30°. Высота AH проведена к боковой стороне BC (основание высоты лежит на продолжении BC, так как угол B тупой), AH = 9 см. В прямоугольном треугольнике AHC угол C равен 30°, катет AH лежит против него, поэтому гипотенуза AC = 2·AH = 18 см.
Ответ: 18 см.
Ответ: 18 см.
265. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
Пусть BH — высота к основанию AC равнобедренного треугольника ABC, BH = 7,6 см, AB = 15,2 см. В прямоугольном треугольнике ABH катет BH = 7,6 равен половине гипотенузы AB = 15,2. Значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30°: ∠A = 30°. Тогда ∠C = ∠A = 30°, ∠B = 180° − 60° = 120°.
Ответ: 30°, 30°, 120°.
Ответ: 30°, 30°, 120°.
266. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, AA1 ⊥ BC и CC1 ⊥ AB — высоты из вершин основания. Прямоугольные треугольники AA1C и CC1A имеют общую гипотенузу AC и равные острые углы: ∠ACA1 = ∠C = ∠A = ∠CAC1 (углы при основании). Следовательно, они равны по гипотенузе и острому углу, и AA1 = CC1.
267. В треугольниках ABC и А1В1С1 углы А и А1 — прямые, BD и В1D1 — биссектрисы. Докажите, что △ABС = △А1В1С1, если ∠B = ∠B1 и ВD = В1D1.
Прямоугольные треугольники ABD и A1B1D1 (углы A и A1 прямые) имеют равные гипотенузы BD = B1D1 и равные острые углы ∠ABD = ∠B/2 = ∠B1/2 = ∠A1B1D1. Следовательно, они равны по гипотенузе и острому углу, откуда AB = A1B1.
Теперь в треугольниках ABC и A1B1C1: AB = A1B1, ∠B = ∠B1, ∠A = ∠A1 = 90°. Они равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла), что и требовалось.
Теперь в треугольниках ABC и A1B1C1: AB = A1B1, ∠B = ∠B1, ∠A = ∠A1 = 90°. Они равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла), что и требовалось.
268. Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.
Пусть BB1 ⊥ AC и CC1 ⊥ AB — высоты, M — их точка пересечения. Рассмотрим четырёхугольник AC1MB1: ∠C1 = ∠B1 = 90°, ∠C1MB1 = ∠BMC = 140° (вертикальные углы). Сумма углов четырёхугольника 360°, поэтому ∠A = 360° − 90° − 90° − 140° = 40°.
Треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AB и AC, значит, основание BC, ∠B = ∠C = (180° − 40°) : 2 = 70°.
Ответ: ∠A = 40°, ∠B = ∠C = 70°.
Треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AB и AC, значит, основание BC, ∠B = ∠C = (180° − 40°) : 2 = 70°.
Ответ: ∠A = 40°, ∠B = ∠C = 70°.
269. Высоты AA1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.
∠C = 180° − 55° − 67° = 58°, треугольник остроугольный, поэтому высоты лежат внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике ABB1: ∠ABB1 = 90° − 55° = 35°. В прямоугольном треугольнике ABA1: ∠BAA1 = 90° − 67° = 23°. В треугольнике AMB: ∠AMB = 180° − 35° − 23° = 122°.
Ответ: 122°.
Ответ: 122°.
270. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.
Углы при основании: ∠A = ∠C = (180° − 112°) : 2 = 34°. Так как ∠B тупой, основание H высоты AH лежит на продолжении стороны CB за точку B, а биссектриса AF пересекает сторону BC в точке F; порядок точек на прямой: H, B, F, C. В треугольнике AFC: ∠FAC = 34° : 2 = 17°, ∠C = 34°, поэтому ∠AFC = 180° − 17° − 34° = 129°. Угол AFH смежный с ним: ∠AFH = 180° − 129° = 51°. Треугольник AHF прямоугольный (∠H = 90°), поэтому ∠HAF = 90° − 51° = 39°.
Ответ: ∠H = 90°, ∠F = 51°, ∠HAF = 39°.
Ответ: ∠H = 90°, ∠F = 51°, ∠HAF = 39°.