Упражнения 279–291 — Глава IV. §4. Построение треугольника по трём…

Наклонная больше перпендикуляра. Пусть длина перпендикуляра p, наклонной n: p + n = 17, n − p = 1. Вычитая из первого равенства второе, получаем 2p = 16, p = 8 см. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.
Ответ: 8 см.

В равностороннем треугольнике биссектриса AD является высотой, поэтому AD ⊥ BC, и расстояние от A до прямой BC равно AD. Пусть DM ⊥ AC; DM = 6 см (расстояние от D до AC). Угол DAC равен половине угла A: 60° : 2 = 30°. В прямоугольном треугольнике AMD катет DM лежит против угла 30°, поэтому AD = 2·DM = 12 см.
Ответ: 12 см.

Из CE + CD = 31 и CE − CD = 3 получаем 2CE = 34, CE = 17 см, CD = 14 см. Гипотенуза CE, поэтому прямой угол при вершине D, и CD ⊥ DE. Расстояние от точки C до прямой DE равно длине перпендикуляра CD = 14 см.
Ответ: 14 см.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, M — середина AC, MK ⊥ AB, ML ⊥ BC. Прямоугольные треугольники AKM и CLM имеют равные гипотенузы AM = CM и равные острые углы ∠A = ∠C (углы при основании), поэтому равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, MK = ML, то есть M равноудалена от боковых сторон.

Пусть MK ⊥ AC, ML ⊥ BC, MK = ML. Прямоугольные треугольники CKM и CLM имеют общую гипотенузу CM и равные катеты MK = ML, поэтому равны. Значит, ∠KCM = ∠LCM, то есть CM — биссектриса угла C равнобедренного треугольника ABC, проведённая к основанию AB. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой. Значит, CM — высота.

Пусть O — середина отрезка AB, l — прямая через O, AA1 ⊥ l и BB1 ⊥ l. Если l содержит AB, то расстояния равны нулю. Если l ⊥ AB, то A1 = B1 = O и AA1 = AO = OB = BB1. В остальных случаях прямоугольные треугольники AA1O и BB1O имеют равные гипотенузы AO = BO и равные острые углы ∠AOA1 = ∠BOB1 (вертикальные), поэтому равны по гипотенузе и острому углу, и AA1 = BB1. Итак, концы отрезка равноудалены от прямой.

Прямые b и c параллельны a и лежат от неё на расстояниях 3 см и 5 см (все точки прямой b находятся на расстоянии 3 см от a, а все точки c — на расстоянии 5 см). Возможны два расположения.
1) b и c лежат по одну сторону от a. Тогда расстояние между b и c равно 5 − 3 = 2 см.
2) b и c лежат по разные стороны от a, и прямая a находится между ними. Тогда расстояние между b и c равно 3 + 5 = 8 см.
Ответ: 2 см или 8 см.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки A прямой AB до прямой CD. Проведём AH ⊥ CD, H ∈ CD. В прямоугольном треугольнике AHD угол D равен 30°, катет AH лежит против него, поэтому AH = AD/2 = 3 см. (Если угол ADC острый, как здесь, то точка H лежит на луче DC.)
Ответ: 3 см.

Пусть a — данная прямая, M — одна из точек, лежащих по одну сторону от a на расстоянии d от неё. Проведём через M прямую b ∥ a. Все точки прямой b находятся от a на расстоянии d (теорема о параллельных прямых) и лежат с M по одну сторону от a.
Пусть X — любая другая точка, лежащая по ту же сторону от a на расстоянии d. Проведём XK ⊥ a, K ∈ a; тогда XK = d. Прямая XK пересекает b в некоторой точке Y (так как b ∥ a, прямая b тоже перпендикулярна XK). Точка Y лежит на b, поэтому расстояние от неё до a равно d, и YK — перпендикуляр к a, поэтому YK = d. Точки X и Y лежат на одном луче с началом K (по одну сторону от a) на одном расстоянии d от K, значит, X = Y. Следовательно, X лежит на прямой b. Итак, все точки с таким свойством лежат на прямой b, параллельной a.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от прямой BC (там, где лежит угол ABC) и удалённые от неё на расстояние PQ, образуют прямую p, параллельную BC (п. 37 и задача 287). Из этой прямой нам нужна часть, лежащая внутри угла. Прямая p пересекает сторону BA в точке D (BD > 0), и внутри угла лежат точки p по одну сторону от D — те, что находятся с той же стороны от прямой AB, что и точка C.
Ответ: открытый луч с началом D на стороне BA, параллельный стороне BC и направленный так же, как луч BC (сама точка D, лежащая на стороне угла, внутри угла не лежит).

Пусть a ∥ b, расстояние между ними h. Точки, лежащие между прямыми: если расстояние до a равно x, то до b равно h − x; равенство x = h − x даёт x = h/2. Все такие точки (по одну сторону от a, на расстоянии h/2) образуют прямую m, параллельную a и b. Точки вне полосы между прямыми не подходят: для точки по другую сторону от a расстояния до a и b равны x и x + h, и они не равны. Точки прямых a и b тоже не подходят.
Ответ: прямая, параллельная данным прямым и расположенная посередине между ними (на равных расстояниях от них).

Пусть M — середина отрезка XY, X ∈ a, Y ∈ b. Проведём через M перпендикуляр к прямой a; так как a ∥ b, он перпендикулярен и b. Пусть он пересекает a в точке P, а b в точке Q. Если XY ⊥ a, то P = X, Q = Y и MP = MQ = XY/2. Иначе прямоугольные треугольники XPM и YQM имеют равные гипотенузы XM = YM и равные острые углы ∠XMP = ∠YMQ (вертикальные), поэтому равны по гипотенузе и острому углу, и MP = MQ. Значит, M равноудалена от прямых a и b. По задаче 289 все такие точки лежат на одной прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них, что и требовалось доказать.

Пусть a — данная прямая, d — данное расстояние (d > 0). Точки, расположенные по одну сторону от a на расстоянии d, образуют прямую, параллельную a (п. 37). Точки по другую сторону на расстоянии d образуют вторую такую прямую, симметрично расположенную относительно a.
Ответ: две прямые, параллельные данной и лежащие по разные стороны от неё на расстоянии d. (При d = 0 это сама прямая a.)