Глава IV. §4. Построение треугольника по трём элементам — с. 86
292. Даны прямая a и отрезок AB. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми a и р было равно AB. [рисунок 148: прямая a, перпендикуляр b, отрезок CD = AB, прямая p; рисунок 149: две искомые прямые p и p1]
Построение.
1) Отмечаем на прямой a произвольную точку C и проводим через неё прямую b, перпендикулярную a.
2) На одном из лучей прямой b с началом C откладываем отрезок CD = AB (циркулем).
3) Через точку D проводим прямую p, перпендикулярную b. Прямая p — искомая.
Доказательство. Прямые a и p перпендикулярны одной прямой b, поэтому p ∥ a. Отрезок CD лежит на перпендикуляре к a, поэтому расстояние от D до a равно CD = AB, и все точки прямой p находятся на этом расстоянии от a, то есть расстояние между прямыми равно AB.
Исследование. Отложив CD1 = AB на втором луче прямой b с началом C и проведя через D1 перпендикуляр p1 к b, получим вторую прямую. Задача всегда имеет два решения: p и p1 (по разные стороны от a).
1) Отмечаем на прямой a произвольную точку C и проводим через неё прямую b, перпендикулярную a.
2) На одном из лучей прямой b с началом C откладываем отрезок CD = AB (циркулем).
3) Через точку D проводим прямую p, перпендикулярную b. Прямая p — искомая.
Доказательство. Прямые a и p перпендикулярны одной прямой b, поэтому p ∥ a. Отрезок CD лежит на перпендикуляре к a, поэтому расстояние от D до a равно CD = AB, и все точки прямой p находятся на этом расстоянии от a, то есть расстояние между прямыми равно AB.
Исследование. Отложив CD1 = AB на втором луче прямой b с началом C и проведя через D1 перпендикуляр p1 к b, получим вторую прямую. Задача всегда имеет два решения: p и p1 (по разные стороны от a).
293. Даны пересекающиеся прямые a и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой b на расстояние PQ.
Построение.
1) По задаче 292 строим прямые p и p1, параллельные прямой b и находящиеся от неё на расстоянии PQ (по одной на каждую сторону от b).
2) Находим точки пересечения прямой a с прямыми p и p1. Так как a пересекает b, она не параллельна b, а значит, не параллельна p и p1, поэтому пересекает каждую из них в одной точке: X ∈ p и X1 ∈ p1.
Доказательство. Точки X и X1 лежат на прямой a и принадлежат прямым p и p1, все точки которых удалены от b на расстояние PQ.
Исследование. Задача всегда имеет два решения: точки X и X1 (если они не совпадают; они не могут совпасть, так как p и p1 параллельны и различны).
1) По задаче 292 строим прямые p и p1, параллельные прямой b и находящиеся от неё на расстоянии PQ (по одной на каждую сторону от b).
2) Находим точки пересечения прямой a с прямыми p и p1. Так как a пересекает b, она не параллельна b, а значит, не параллельна p и p1, поэтому пересекает каждую из них в одной точке: X ∈ p и X1 ∈ p1.
Доказательство. Точки X и X1 лежат на прямой a и принадлежат прямым p и p1, все точки которых удалены от b на расстояние PQ.
Исследование. Задача всегда имеет два решения: точки X и X1 (если они не совпадают; они не могут совпасть, так как p и p1 параллельны и различны).
294. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.
Дано: сторона c, угол α, прилежащий к стороне c, и биссектриса l этого угла.
Построение.
1) Строим угол XAY, равный α.
2) На луче AX откладываем отрезок AB = c.
3) Строим биссектрису AM угла XAY и откладываем на ней отрезок AD = l.
4) Проводим прямую BD. Пусть она пересекает луч AY в точке C (точка D лежит между B и C). Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = c, ∠A = α, AD — биссектриса угла A, AD = l, и D лежит на стороне BC.
Исследование. Построение однозначно, и решение единственно, если луч BD (за точкой D) пересекает луч AY; в противном случае (когда луч BD не пересекает AY, например при слишком большой l) задача решений не имеет.
Построение.
1) Строим угол XAY, равный α.
2) На луче AX откладываем отрезок AB = c.
3) Строим биссектрису AM угла XAY и откладываем на ней отрезок AD = l.
4) Проводим прямую BD. Пусть она пересекает луч AY в точке C (точка D лежит между B и C). Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = c, ∠A = α, AD — биссектриса угла A, AD = l, и D лежит на стороне BC.
Исследование. Построение однозначно, и решение единственно, если луч BD (за точкой D) пересекает луч AY; в противном случае (когда луч BD не пересекает AY, например при слишком большой l) задача решений не имеет.
295. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
Дано: сторона c, медиана m, проведённая к одной из двух других сторон, и угол φ между стороной c и этой медианой. Обозначим сторону AB = c, медиана AM = m проведена из вершины A к стороне BC, ∠BAM = φ.
Построение.
1) Строим угол BAM, равный φ.
2) На одной стороне угла откладываем AB = c, на другой — AM = m.
3) Проводим луч BM и откладываем на нём за точкой M отрезок MC = BM.
4) Соединяем A и C. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = c, M — середина BC, поэтому AM — медиана, проведённая к стороне BC, AM = m и ∠BAM = φ.
Исследование. Построение выполнимо при любых данных (φ меньше 180°), решение единственно.
Построение.
1) Строим угол BAM, равный φ.
2) На одной стороне угла откладываем AB = c, на другой — AM = m.
3) Проводим луч BM и откладываем на нём за точкой M отрезок MC = BM.
4) Соединяем A и C. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = c, M — середина BC, поэтому AM — медиана, проведённая к стороне BC, AM = m и ∠BAM = φ.
Исследование. Построение выполнимо при любых данных (φ меньше 180°), решение единственно.
296. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы: а) AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 1/2 ∠hk; б) AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 1/4 ∠hk.
Общая часть построения. Проводим луч и откладываем на нём AB = PQ. Строим угол ABX, равный данному углу hk (угол откладываем от луча BA).
а) Строим биссектрису угла hk — получаем угол, равный 1/2 ∠hk. Откладываем от луча AB угол BAY, равный этому углу, по ту же сторону от AB, что и луч BX. Лучи BX и AY пересекаются в точке C. Треугольник ABC искомый: AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 1/2 ∠hk.
б) Делим пополам угол, равный 1/2 ∠hk, — получаем угол 1/4 ∠hk (две биссектрисы подряд). Дальше аналогично: откладываем от AB угол, равный 1/4 ∠hk, и находим точку C пересечения его стороны с лучом BX.
Исследование. Лучи пересекаются, если сумма двух построенных углов меньше 180°. В случае а) нужно ∠hk + 1/2 ∠hk < 180°, то есть ∠hk < 120°; в случае б) — ∠hk + 1/4 ∠hk < 180°, то есть ∠hk < 144°. При выполнении условия решение единственно (с точностью до равенства треугольников); иначе решений нет.
а) Строим биссектрису угла hk — получаем угол, равный 1/2 ∠hk. Откладываем от луча AB угол BAY, равный этому углу, по ту же сторону от AB, что и луч BX. Лучи BX и AY пересекаются в точке C. Треугольник ABC искомый: AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 1/2 ∠hk.
б) Делим пополам угол, равный 1/2 ∠hk, — получаем угол 1/4 ∠hk (две биссектрисы подряд). Дальше аналогично: откладываем от AB угол, равный 1/4 ∠hk, и находим точку C пересечения его стороны с лучом BX.
Исследование. Лучи пересекаются, если сумма двух построенных углов меньше 180°. В случае а) нужно ∠hk + 1/2 ∠hk < 180°, то есть ∠hk < 120°; в случае б) — ∠hk + 1/4 ∠hk < 180°, то есть ∠hk < 144°. При выполнении условия решение единственно (с точностью до равенства треугольников); иначе решений нет.
297. Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠B = 1/2 ∠h1k1.
Построение.
1) Строим биссектрису угла h1k1 — получаем угол, равный 1/2 ∠h1k1.
2) Проводим луч и откладываем на нём отрезок AB = PQ.
3) От луча AB строим угол, равный ∠hk, а от луча BA, по ту же сторону от прямой AB, — угол, равный 1/2 ∠h1k1.
4) Стороны построенных углов пересекаются в точке C. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠B = 1/2 ∠h1k1.
Исследование. Стороны углов пересекаются, если ∠hk + 1/2 ∠h1k1 < 180°; тогда решение единственно (все такие треугольники равны по второму признаку). Если сумма не меньше 180°, решений нет.
1) Строим биссектрису угла h1k1 — получаем угол, равный 1/2 ∠h1k1.
2) Проводим луч и откладываем на нём отрезок AB = PQ.
3) От луча AB строим угол, равный ∠hk, а от луча BA, по ту же сторону от прямой AB, — угол, равный 1/2 ∠h1k1.
4) Стороны построенных углов пересекаются в точке C. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠B = 1/2 ∠h1k1.
Исследование. Стороны углов пересекаются, если ∠hk + 1/2 ∠h1k1 < 180°; тогда решение единственно (все такие треугольники равны по второму признаку). Если сумма не меньше 180°, решений нет.
298. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
а) Даны катеты a и b.
Построение: 1) строим прямой угол с вершиной C (проводим прямую и строим к ней перпендикуляр в точке C); 2) на одной стороне угла откладываем CA = b, на другой — CB = a; 3) соединяем A и B. Треугольник ABC — искомый: ∠C = 90°, катеты равны a и b. Решение единственно и существует всегда (по первому признаку все такие треугольники равны).
б) Дан катет b и острый угол α, прилежащий к нему.
Построение: 1) проводим прямую и на ней откладываем CA = b; 2) строим угол, равный α, с вершиной A, одна сторона которого — луч AC; 3) в точке C строим перпендикуляр к AC по ту же сторону, где построен угол α; 4) пересечение второй стороны угла α и перпендикуляра — точка B. Треугольник ABC — искомый: ∠C = 90°, AC = b, ∠A = α. Решение единственно (второй признак), существует при α < 90°; иначе перпендикуляр и сторона угла не пересекаются.
Построение: 1) строим прямой угол с вершиной C (проводим прямую и строим к ней перпендикуляр в точке C); 2) на одной стороне угла откладываем CA = b, на другой — CB = a; 3) соединяем A и B. Треугольник ABC — искомый: ∠C = 90°, катеты равны a и b. Решение единственно и существует всегда (по первому признаку все такие треугольники равны).
б) Дан катет b и острый угол α, прилежащий к нему.
Построение: 1) проводим прямую и на ней откладываем CA = b; 2) строим угол, равный α, с вершиной A, одна сторона которого — луч AC; 3) в точке C строим перпендикуляр к AC по ту же сторону, где построен угол α; 4) пересечение второй стороны угла α и перпендикуляра — точка B. Треугольник ABC — искомый: ∠C = 90°, AC = b, ∠A = α. Решение единственно (второй признак), существует при α < 90°; иначе перпендикуляр и сторона угла не пересекаются.
299. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.
Во всех случаях ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и боковыми сторонами AB = BC = b.
а) Даны b и угол γ при вершине B. Строим угол, равный γ, с вершиной B; на его сторонах откладываем BA = BC = b; соединяем A и C. Решение единственно, существует при γ < 180°.
б) Даны основание m и угол α при основании. Проводим прямую, откладываем AC = m, в точках A и C строим по одну сторону от AC углы, равные α. Их стороны пересекаются в точке B. Так как углы при основании равны, AB = BC. Существует при α < 90°; решение единственно.
в) Даны b и угол α при основании. Строим угол α с вершиной A, на одной стороне откладываем AB = b. Из B опускаем перпендикуляр BH на вторую сторону угла и откладываем HC = AH на этой стороне (за точкой H). Тогда BH — высота и медиана, AB = BC = b. (Либо: окружность с центром B радиуса b пересекает вторую сторону угла в точке C, отличной от A.) Существует при α < 90°.
г) Даны основание m и боковая сторона b. Откладываем AC = m, строим окружности с центрами A и C радиуса b. Одна из точек их пересечения — вершина B. Треугольник существует при 2b > m.
д) Даны основание m и медиана h к основанию. Откладываем AC = m, находим середину M отрезка AC (построение серединного перпендикуляра). На перпендикуляре к AC в точке M откладываем MB = h. Так как BM — высота и медиана, треугольник равнобедренный: BA = BC (прямоугольные треугольники BMA и BMC равны по двум катетам). Решение единственно.
а) Даны b и угол γ при вершине B. Строим угол, равный γ, с вершиной B; на его сторонах откладываем BA = BC = b; соединяем A и C. Решение единственно, существует при γ < 180°.
б) Даны основание m и угол α при основании. Проводим прямую, откладываем AC = m, в точках A и C строим по одну сторону от AC углы, равные α. Их стороны пересекаются в точке B. Так как углы при основании равны, AB = BC. Существует при α < 90°; решение единственно.
в) Даны b и угол α при основании. Строим угол α с вершиной A, на одной стороне откладываем AB = b. Из B опускаем перпендикуляр BH на вторую сторону угла и откладываем HC = AH на этой стороне (за точкой H). Тогда BH — высота и медиана, AB = BC = b. (Либо: окружность с центром B радиуса b пересекает вторую сторону угла в точке C, отличной от A.) Существует при α < 90°.
г) Даны основание m и боковая сторона b. Откладываем AC = m, строим окружности с центрами A и C радиуса b. Одна из точек их пересечения — вершина B. Треугольник существует при 2b > m.
д) Даны основание m и медиана h к основанию. Откладываем AC = m, находим середину M отрезка AC (построение серединного перпендикуляра). На перпендикуляре к AC в точке M откладываем MB = h. Так как BM — высота и медиана, треугольник равнобедренный: BA = BC (прямоугольные треугольники BMA и BMC равны по двум катетам). Решение единственно.