Глава IV. §4 (окончание). Задачи 300–303 и вопросы для повторения к главе IV — с. 88
3. Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Пусть в треугольнике есть угол, не являющийся острым, то есть прямой или тупой, и его величина не меньше 90°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому сумма двух других углов не больше 90°. Значит, каждый из этих двух углов меньше 90° (оба положительны), то есть острый. Таким образом, если один из углов тупой или прямой, то два других острые. Если же ни один угол не является прямым или тупым, то все три угла острые. Других вариантов нет.
4. Какой треугольник называется остроугольным?
Какой треугольник называется тупоугольным?
Если все три угла треугольника острые, то он называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
5. Какой треугольник называется прямоугольным?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.
6. Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит бо́льшая сторона.
1) Пусть в треугольнике ABC AB > AC. Докажем, что ∠C > ∠B. Отложим на AB отрезок AD = AC. Так как AD < AB, точка D лежит между A и B. Тогда угол ACD является частью угла C, и ∠C > ∠ACD. Угол BDC — внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠BDC > ∠B. Углы ACD и BDC равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Значит, ∠C > ∠ACD = ∠BDC > ∠B, то есть ∠C > ∠B.
2) Пусть ∠C > ∠B. Докажем, что AB > AC. Предположим противное: AB = AC или AB < AC. Если AB = AC, треугольник равнобедренный и ∠C = ∠B, что противоречит условию. Если AB < AC, то по доказанному в 1) ∠B > ∠C, что тоже противоречит условию. Значит, AB > AC.
2) Пусть ∠C > ∠B. Докажем, что AB > AC. Предположим противное: AB = AC или AB < AC. Если AB = AC, треугольник равнобедренный и ∠C = ∠B, что противоречит условию. Если AB < AC, то по доказанному в 1) ∠B > ∠C, что тоже противоречит условию. Значит, AB > AC.
7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Гипотенуза лежит против прямого угла, катет — против острого угла (в треугольнике не может быть двух прямых или прямого и тупого углов). Прямой угол больше острого, а против большего угла лежит большая сторона. Поэтому гипотенуза больше катета.
8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Пусть в треугольнике ABC ∠B = ∠C. Предположим, что AB ≠ AC, например AB > AC. Тогда против большей стороны AB лежит больший угол: ∠C > ∠B. Это противоречит равенству ∠B = ∠C. Аналогично невозможно AB < AC. Следовательно, AB = AC, и треугольник равнобедренный.
9. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?
Рассмотрим треугольник ABC и докажем, что AB < AC + CB. На продолжении стороны AC за точку C отложим отрезок CD = CB. Треугольник BCD равнобедренный, поэтому ∠CBD = ∠D. Точка C лежит между A и D, значит, луч BC лежит внутри угла ABD и ∠ABD > ∠CBD = ∠D. В треугольнике ABD против большего угла ABD лежит большая сторона AD: AD > AB. Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому AB < AC + CB. Для остальных сторон доказательство аналогично.
Неравенствами треугольника называются неравенства AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC, справедливые для любых трёх точек A, B, C, не лежащих на одной прямой.
Неравенствами треугольника называются неравенства AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC, справедливые для любых трёх точек A, B, C, не лежащих на одной прямой.
10. Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Сумма углов треугольника равна 180°, один из углов прямоугольного треугольника равен 90°, поэтому сумма двух других (острых) углов равна 180° − 90° = 90°.
11. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Прямая теорема. Пусть в треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 30°, тогда ∠C = 60°. Докажем, что AC = BC/2. Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD так, чтобы D лежала на продолжении CA за точку A (катет AB общий, AD = AC). В треугольнике BCD ∠CBD = 30° + 30° = 60°, ∠D = ∠C = 60° (из равенства треугольников) и ∠C = 60°. Значит, все углы треугольника BCD равны, он равнобедренный с любым основанием, то есть равносторонний, и DC = BC. Но AC = DC/2, поэтому AC = BC/2.
Обратное утверждение. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC ∠A = 90°, AC = BC/2. Приложим к нему равный треугольник ABD так, что D лежит на продолжении CA за A и AD = AC. Тогда DC = 2AC = BC, BD = BC (из равенства треугольников), то есть треугольник BCD равносторонний. Его углы равны 60°, в частности ∠DBC = 60°. Но ∠DBC = 2∠ABC (∠ABD = ∠ABC), поэтому ∠ABC = 30°.
Обратное утверждение. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC ∠A = 90°, AC = BC/2. Приложим к нему равный треугольник ABD так, что D лежит на продолжении CA за A и AD = AC. Тогда DC = 2AC = BC, BD = BC (из равенства треугольников), то есть треугольник BCD равносторонний. Его углы равны 60°, в частности ∠DBC = 60°. Но ∠DBC = 2∠ABC (∠ABD = ∠ABC), поэтому ∠ABC = 30°.
12. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
Утверждение. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠C = ∠C1 = 90°, AB = A1B1, ∠A = ∠A1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому ∠B = 90° − ∠A = 90° − ∠A1 = ∠B1. Тогда у треугольников равны сторона (гипотенуза) AB = A1B1 и два прилежащих к ней угла: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠C = ∠C1 = 90°, AB = A1B1, ∠A = ∠A1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому ∠B = 90° − ∠A = 90° − ∠A1 = ∠B1. Тогда у треугольников равны сторона (гипотенуза) AB = A1B1 и два прилежащих к ней угла: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
13. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Утверждение. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠C = ∠C1 = 90°, AB = A1B1, BC = B1C1. Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы B1 совпала с B, C1 — с C, а точка A1 попала в точку D по другую сторону от прямой BC, чем точка A. Так как ∠ACB = ∠DCB = 90°, точки A, C, D лежат на одной прямой (углы ACB и BCD вместе дают развёрнутый угол). В треугольнике ABD стороны AB и DB равны (DB = A1B1 = AB), поэтому он равнобедренный, и ∠A = ∠D. Прямоугольные треугольники ABC и DBC имеют равные гипотенузы AB = DB и равные острые углы ∠A = ∠D, поэтому они равны по гипотенузе и острому углу (вопрос 12). Следовательно, △ABC = △A1B1C1.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠C = ∠C1 = 90°, AB = A1B1, BC = B1C1. Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы B1 совпала с B, C1 — с C, а точка A1 попала в точку D по другую сторону от прямой BC, чем точка A. Так как ∠ACB = ∠DCB = 90°, точки A, C, D лежат на одной прямой (углы ACB и BCD вместе дают развёрнутый угол). В треугольнике ABD стороны AB и DB равны (DB = A1B1 = AB), поэтому он равнобедренный, и ∠A = ∠D. Прямоугольные треугольники ABC и DBC имеют равные гипотенузы AB = DB и равные острые углы ∠A = ∠D, поэтому они равны по гипотенузе и острому углу (вопрос 12). Следовательно, △ABC = △A1B1C1.
14. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой, и какой отрезок называется проекцией наклонной.
Пусть AH — перпендикуляр, проведённый из точки A к прямой a (H ∈ a), а M — любая точка прямой a, отличная от H. Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки A к прямой a, а отрезок HM, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, — проекцией наклонной AM на прямую a.
15. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
Пусть AH — перпендикуляр из точки A к прямой a, AM — любая наклонная (M ≠ H). Треугольник AHM прямоугольный с прямым углом H, AM — его гипотенуза, AH — катет. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, поэтому AH < AM.
16. Докажите, что любая наклонная, проведённая из данной точки к данной прямой, меньше суммы перпендикуляра, проведённого из той же точки к этой прямой, и проекции наклонной.
Пусть AH — перпендикуляр из точки A к прямой a, AM — наклонная, HM — её проекция. Точки A, H, M не лежат на одной прямой, поэтому по неравенству треугольника для треугольника AHM AM < AH + HM, то есть наклонная меньше суммы перпендикуляра и проекции.
17. Что называется расстоянием от точки до прямой?
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Оно равно наименьшему из расстояний от точки до точек прямой.
18. Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Пусть a ∥ b. Отметим на a точку A и проведём из неё перпендикуляр AB к прямой b. Пусть X — любая другая точка прямой a, XY ⊥ b (Y ∈ b). Так как XY ⊥ b и a ∥ b, то XY ⊥ a (перпендикуляр к одной из параллельных прямых перпендикулярен и другой). Рассмотрим прямоугольные треугольники ABY и YXA. У них общая гипотенуза AY, а ∠BYA = ∠XAY как накрест лежащие при параллельных a и b и секущей AY. Значит, они равны по гипотенузе и острому углу, и XY = AB. Итак, любая точка X прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Для точек прямой b рассуждение такое же (расстояние до a). Теорема доказана.
19. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой (так как все точки одной прямой равноудалены от другой, оно не зависит от выбора точки). Это расстояние равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой.
20. Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.
Пусть a — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на a точку A, проведём из неё перпендикуляр AB = d (B лежит с нужной стороны от a) и через B проведём прямую b ∥ a.
1) Каждая точка прямой b принадлежит множеству: по теореме о параллельных прямых все точки b находятся на расстоянии AB = d от a, и лежат по ту же сторону, что и B.
2) Каждая точка X множества лежит на b. Проведём XK ⊥ a (XK = d). Прямая XK перпендикулярна b (так как b ∥ a) и пересекает b в точке Y; YK = d, так как расстояние от точек b до a равно d. Точки X и Y лежат на одном луче с началом K на расстоянии d, значит, они совпадают, и X ∈ b.
Итак, искомое множество — прямая b, параллельная a.
1) Каждая точка прямой b принадлежит множеству: по теореме о параллельных прямых все точки b находятся на расстоянии AB = d от a, и лежат по ту же сторону, что и B.
2) Каждая точка X множества лежит на b. Проведём XK ⊥ a (XK = d). Прямая XK перпендикулярна b (так как b ∥ a) и пересекает b в точке Y; YK = d, так как расстояние от точек b до a равно d. Точки X и Y лежат на одном луче с началом K на расстоянии d, значит, они совпадают, и X ∈ b.
Итак, искомое множество — прямая b, параллельная a.
21. Что такое геометрическое место точек?
Приведите пример.
Геометрическим местом точек называется множество всех точек, обладающих некоторым свойством (каждая точка множества обладает этим свойством, и каждая точка, обладающая им, принадлежит множеству). Пример: геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной. Другой пример: геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, — прямая, параллельная им и проходящая посередине между ними.