Упражнения 6–26 — Глава V. Вопросы для повторения к главе V

Пусть m и n — серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC треугольника ABC. Они пересекаются: если бы m ∥ n, то прямая BA, перпендикулярная m, была бы перпендикулярна и n, и через точку B проходили бы две различные прямые BA и BC, перпендикулярные n, что невозможно. Пусть O — точка пересечения m и n.
По теореме о серединном перпендикуляре OA = OB (O на m) и OB = OC (O на n). Значит, OA = OC, поэтому O лежит на серединном перпендикуляре p к отрезку AC.
Следовательно, все три серединных перпендикуляра проходят через точку O.

Окружность с центром O и радиусом r — фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии r от данной точки O (центра).
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр — хорда, проходящая через центр; его длина равна 2r.

Свойство 1°. Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Обратно: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Доказательство. 1. Диаметр AB проходит через середину M хорды CD. Треугольник COD равнобедренный (OC = OD = r), OM — его медиана, а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому OM ⊥ CD, то есть AB ⊥ CD.
2) Пусть диаметр AB ⊥ CD. Проведём диаметр EF через середину M хорды CD. По доказанному EF ⊥ CD. Через центр O проходят две прямые AB и EF, перпендикулярные CD, значит, они совпадают, и AB проходит через середину хорды.
Свойство 2°. Каждая точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на окружности. Обратно: из каждой точки окружности любой диаметр, не проходящий через эту точку, виден под прямым углом.
Доказательство. 1. Если ∠ACB = 90°, то в прямоугольном треугольнике ACB медиана CO равна половине гипотенузы: OC = OA = OB, значит, C лежит на окружности с центром O.
2) Если C лежит на окружности с диаметром AB, то в треугольнике ACB медиана CO равна половине стороны AB, поэтому ∠ACB = 90°.

Диаметр AB виден из точки C под прямым углом, если угол ACB прямой. Это происходит для каждой точки окружности (кроме A и B) и только для них: множество точек, из которых отрезок AB виден под прямым углом, — окружность с диаметром AB без точек A и B.

Нет, не может. Предположим, прямая пересекает окружность с центром O в трёх точках A, B, C. Тогда точка O равноудалена от A и B и от B и C, поэтому лежит на серединных перпендикулярах p1 и p2 к отрезкам AB и BC. Но p1 и p2 перпендикулярны одной и той же прямой, значит, параллельны (и различны), а у параллельных прямых нет общей точки O. Противоречие.

Секущей называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство. Пусть p — касательная к окружности с центром O, A — точка касания. Любая точка B касательной, отличная от A, лежит вне окружности, поэтому OB > OA. Значит, из точки O к прямой p проведены отрезок OA и наклонная OB, причём OA короче любого другого отрезка OB. Кратчайшим из отрезков, соединяющих точку с прямой, является перпендикуляр, поэтому OA ⊥ p. Теорема доказана.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Доказательство. Пусть из точки A проведены касательные AB и AC (B, C — точки касания), O — центр. Углы ABO и ACO прямые, поэтому треугольники ABO и ACO прямоугольные и равны по гипотенузе OA и катету (OB = OC = r). Следовательно, AB = AC и ∠BAO = ∠CAO.

Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство. Данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к прямой. Поэтому расстояние от центра до прямой равно радиусу. Любая другая точка прямой удалена от центра больше, чем на радиус (наклонная длиннее перпендикуляра), то есть лежит вне окружности. Значит, у прямой с окружностью ровно одна общая точка, и прямая — касательная.

Пусть A — данная точка окружности с центром O. Проводим прямую OA, затем через точку A строим прямую p, перпендикулярную OA (циркулем и линейкой). По признаку касательной p — искомая касательная.

Отрезок (луч) называется касательным к окружности, если он лежит на прямой, касательной к окружности, и точка касания является точкой этого отрезка (луча).

Окружность вписана в неразвёрнутый угол, если она касается сторон этого угла.
В данный угол можно вписать бесконечно много окружностей. Центр каждой такой окружности равноудалён от сторон угла, поэтому лежит на биссектрисе угла; обратно, любая точка биссектрисы (кроме вершины) — центр вписанной окружности, радиус которой равен расстоянию от этой точки до сторон.

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются её. Треугольник при этом называется описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, а OK, OL, OM — перпендикуляры из O к сторонам AB, BC, CA. Точка O равноудалена от сторон треугольника (теорема о биссектрисе), поэтому OK = OL = OM. Значит, окружность с центром O радиуса OK проходит через K, L, M. Стороны треугольника перпендикулярны радиусам OK, OL, OM в их концах, лежащих на окружности, поэтому по признаку касательной касаются окружности. Итак, эта окружность вписана в треугольник.
В треугольник можно вписать только одну окружность: центр любой вписанной окружности равноудалён от сторон, то есть совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус равен расстоянию от неё до сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Треугольник при этом называется вписанным в окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.
Доказательство. Пусть O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC (они пересекаются в одной точке). Тогда OA = OB = OC (каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка). Поэтому окружность с центром O радиуса OA проходит через все три вершины, то есть описана около треугольника.
Такая окружность единственна: центр любой описанной окружности равноудалён от вершин, то есть лежит на всех серединных перпендикулярах и совпадает с точкой O, а радиус равен расстоянию от O до вершины. Около данного треугольника можно описать только одну окружность.

Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры.

Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры относительно этой прямой, и обратно. Прямая называется осью симметрии этих фигур.

Пусть дана точка A и ось a. Из точки A опускаем перпендикуляр AH на прямую a и на продолжении за точку H откладываем отрезок HA1, равный AH (циркулем). Точка A1 симметрична A относительно a. Если A лежит на оси, то симметричная ей точка — сама A.