Упражнения 383–391 — Глава V. §3. Симметричные фигуры. Задачи

Ось симметрии имеют буквы, у которых одна половина зеркально отражается в другой: А — вертикальная ось; Е — горизонтальная ось (верх и низ одинаковы); О — осей несколько (вертикальная и горизонтальная).
Буквы Б, Г, F осей симметрии не имеют.
Ответ: А, Е, О.
Оговорка: ответ дан для обычного печатного начертания букв.

Ось p — вертикальная линия сетки. Симметричная точка лежит на той же горизонтали, по другую сторону от оси на таком же расстоянии.
а) Точка A отстоит от оси на 4 клетки влево. Симметричная ей точка — на той же горизонтали, на 4 клетки вправо от оси: это точка M.
б) Точка B отстоит от оси на 1 клетку влево. Симметричная ей — на той же горизонтали, на 1 клетку вправо от оси: это точка C.
Точки N, S, Q не подходят (N — на другой горизонтали; S — на той же горизонтали, что и A, но на 2 клетки от оси; Q — на другой горизонтали).
Ответ: а) M; б) C.

Если точки A и A1 симметричны относительно прямой p, то p — серединный перпендикуляр к отрезку AA1. Значит, прямая p проходит через середину AA1 перпендикулярно AA1, и расстояния от A и A1 до p равны (каждое равно половине AA1, если A и A1 не лежат на p).
а) 4 см и 6 см — расстояния не равны, точки симметричными быть не могут.
б) 7 см и 7 см — расстояния равны, точки могут быть симметричными (например, если они лежат на одном перпендикуляре к p по разные стороны от p).
в) 11,3 см и 11,4 см — расстояния не равны, не могут.
Ответ: а) нет; б) да (могут); в) нет.

При осевой симметрии расстояние между точками равно расстоянию между симметричными им точками, поэтому A1B1 = AB.
Точка B лежит между A и C, значит, AB = AC − BC = 5 − 3 = 2 см.
Ответ: A1B1 = 2 см.

По рисунку 180, а точки A и B лежат на одном перпендикуляре к прямой p по одну сторону от неё, точка B между A и H, где H — точка пересечения этого перпендикуляра с p. Точки B и B1 симметричны, поэтому BH = B1H = 7,8 см.
Тогда AB = AH − BH = 27,3 − 7,8 = 19,5 см.
Отрезок A1B1 симметричен отрезку AB, поэтому A1B1 = AB = 19,5 см.
Ответ: AB = A1B1 = 19,5 см.

По рисунку 180, б точки A, A1, B, B1 лежат на одном перпендикуляре к p; порядок на прямой: B1, A, p, A1, B. Ось p проходит через середины отрезков AA1 и BB1, поэтому A и A1 удалены от p на 5 : 2 = 2,5 см, а B и B1 — на 15 : 2 = 7,5 см.
A лежит по ту же сторону от p, что B1, а B — по ту же сторону, что A1. Поэтому AB = 2,5 + 7,5 = 10 см.
Симметричные отрезки равны: A1B1 = AB = 10 см.
Ответ: AB = A1B1 = 10 см.

Симметрия сохраняет расстояния, поэтому A1B1 = AB, B1C1 = BC, A1C1 = AC. Три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда расстояние между двумя из них равно сумме двух других расстояний (одна точка лежит между двумя другими); иначе они образуют треугольник (неравенство треугольника).
а) AB = 2 дм = 20 см, AC = 10 дм = 100 см, BC = 80 см. Так как AB + BC = 20 + 80 = 100 = AC, точка B лежит между A и C, то есть A1B1 + B1C1 = A1C1, и точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. Ответ: да.
б) AB = 1,1 см, BC = B1C1 = 5 см, CA = 6 см. Так как 1,1 + 5 = 6,1 ≠ 6, и ни одно из чисел 1,1; 5; 6 не равно сумме двух других, точки A, B, C не лежат на одной прямой; такие же расстояния у точек A1, B1, C1, поэтому они тоже не лежат на одной прямой. Ответ: нет.

Симметричными относительно прямой p являются фигуры, у которых каждой точке одной фигуры соответствует точка другой, получаемая отражением в p.
Это треугольники ABC и A1B1C1 и отрезки MN и M1N1.
Остальные пары не симметричны: прямые a и a1 имеют разные наклоны, отрезки PQ и RS и прямые h и k не отражаются друг в друга (разные длины или углы наклона), окружности имеют разные радиусы.
Ответ: △ABC и △A1B1C1; отрезки MN и M1N1.
Оговорка: ответ получен по рисунку 181; симметричность пар определена по их виду на рисунке.

Симметрия сохраняет расстояния, поэтому стороны треугольника A1B1C1 равны соответственным сторонам треугольника ABC: A1B1 = 4,5 см, B1C1 = 5,5 см, C1A1 = 8,1 см.
Периметр P = 4,5 + 5,5 + 8,1 = 18,1 см (равен периметру ABC).
Ответ: 18,1 см.