Глава V. §2. Окружность. Касательная к окружности — с. 106
369. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
Пусть в треугольнике ABC угол C прямой, O — середина гипотенузы AB.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: OC = OA = OB.
Значит, окружность с центром O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника, то есть является описанной около него. Около треугольника можно описать только одну окружность, поэтому центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: OC = OA = OB.
Значит, окружность с центром O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника, то есть является описанной около него. Около треугольника можно описать только одну окружность, поэтому центр описанной окружности — середина гипотенузы.
370. Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с центром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности равен 5 см.
Пусть окружность касается сторон угла BAC в точках B и C. Радиусы OB и OC перпендикулярны сторонам, и OB = OC = 5 см. Точка O равноудалена от сторон угла, поэтому лежит на его биссектрисе: ∠OAB = 60° : 2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике OBA катет OB = 5 см лежит против угла 30°, поэтому гипотенуза OA = 2·OB = 10 см.
Ответ: 10 см.
В прямоугольном треугольнике OBA катет OB = 5 см лежит против угла 30°, поэтому гипотенуза OA = 2·OB = 10 см.
Ответ: 10 см.
371. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, гипотенуза AB = 26 см, а вписанная окружность с центром O и радиусом r = 4 см касается катетов CB, CA и гипотенузы в точках K, M, L.
Отрезки OK и OM перпендикулярны катетам; OC — биссектриса угла C, ∠OCK = 45°. Тогда в прямоугольном треугольнике OKC ∠KOC = 45°, и CK = OK = 4 см; аналогично CM = 4 см.
Отрезки касательных из одной точки равны: BL = BK, AL = AM. Поэтому AB = AL + LB = AM + BK = (AC − 4) + (BC − 4), откуда AC + BC = AB + 8 = 34 см.
Периметр равен AB + AC + BC = 26 + 34 = 60 см.
Ответ: 60 см.
Отрезки OK и OM перпендикулярны катетам; OC — биссектриса угла C, ∠OCK = 45°. Тогда в прямоугольном треугольнике OKC ∠KOC = 45°, и CK = OK = 4 см; аналогично CM = 4 см.
Отрезки касательных из одной точки равны: BL = BK, AL = AM. Поэтому AB = AL + LB = AM + BK = (AC − 4) + (BC − 4), откуда AC + BC = AB + 8 = 34 см.
Периметр равен AB + AC + BC = 26 + 34 = 60 см.
Ответ: 60 см.
372. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов m.
Обозначим катеты a и b, гипотенузу c, радиус вписанной окружности r. Как в задаче 371, отрезки катетов от вершины прямого угла до точек касания равны r, а отрезки от других вершин до точек касания равны a − r и b − r. Поэтому c = (a − r) + (b − r) = a + b − 2r.
По условию a + b = m, значит, 2r = m − c.
Диаметр вписанной окружности равен 2r = m − c.
Ответ: m − c.
По условию a + b = m, значит, 2r = m − c.
Диаметр вписанной окружности равен 2r = m − c.
Ответ: m − c.
373. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О, и около него описана окружность с центром Е. Докажите, что точки О и Е лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AB = AC, BC — основание, D — середина BC. В равнобедренном треугольнике биссектриса AD, проведённая к основанию, является также медианой и высотой, значит, прямая AD — серединный перпендикуляр к основанию BC.
Центр O вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A, то есть на прямой AD.
Центр E описанной окружности равноудалён от вершин B и C (EB = EC = радиусу), а множество точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к нему. Значит, E лежит на серединном перпендикуляре к BC, то есть на прямой AD.
Таким образом, обе точки O и E лежат на серединном перпендикуляре к основанию.
Центр O вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A, то есть на прямой AD.
Центр E описанной окружности равноудалён от вершин B и C (EB = EC = радиусу), а множество точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к нему. Значит, E лежит на серединном перпендикуляре к BC, то есть на прямой AD.
Таким образом, обе точки O и E лежат на серединном перпендикуляре к основанию.