Глава V. §3. Симметричные фигуры. Практические задания — с. 110
374. Начертите прямую l. Отметьте точки А и В, не лежащие на этой прямой, и точку С, принадлежащую ей. Постройте точки А1, В1, С1, симметричные данным точкам относительно прямой l. С помощью масштабной линейки сравните длины отрезков АВ и А1В1, АС и А1С1, ВС и В1С1.
Построение.
1) Чертим прямую l, отмечаем точки A и B вне неё и точку C на ней.
2) Из точки A опускаем перпендикуляр на l (угольником) и отмечаем его основание H. На продолжении перпендикуляра за H откладываем отрезок HA1 = AH. Точка A1 симметрична A (прямая l проходит через середину AA1 и перпендикулярна ей).
3) Так же строим точку B1, симметричную B.
4) Точка C лежит на оси, поэтому симметрична сама себе: C1 = C.
Измерение. Линейка показывает AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1: при осевой симметрии расстояние между точками равно расстоянию между симметричными им точками.
1) Чертим прямую l, отмечаем точки A и B вне неё и точку C на ней.
2) Из точки A опускаем перпендикуляр на l (угольником) и отмечаем его основание H. На продолжении перпендикуляра за H откладываем отрезок HA1 = AH. Точка A1 симметрична A (прямая l проходит через середину AA1 и перпендикулярна ей).
3) Так же строим точку B1, симметричную B.
4) Точка C лежит на оси, поэтому симметрична сама себе: C1 = C.
Измерение. Линейка показывает AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1: при осевой симметрии расстояние между точками равно расстоянию между симметричными им точками.
375. Начертите прямую l. Отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку А1, симметричную точке А, с помощью одного циркуля.
Построение одним циркулем.
1) Отмечаем на прямой l две произвольные точки P и Q.
2) Строим дугу с центром P радиуса PA и дугу с центром Q радиуса QA. Дуги пересекаются в точках A и A1.
Доказательство. PA = PA1 и QA = QA1, значит, P и Q лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AA1. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая PQ, то есть l, является серединным перпендикуляром к AA1, и точки A и A1 симметричны относительно l.
1) Отмечаем на прямой l две произвольные точки P и Q.
2) Строим дугу с центром P радиуса PA и дугу с центром Q радиуса QA. Дуги пересекаются в точках A и A1.
Доказательство. PA = PA1 и QA = QA1, значит, P и Q лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AA1. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая PQ, то есть l, является серединным перпендикуляром к AA1, и точки A и A1 симметричны относительно l.
376. Отметьте две точки и постройте их ось симметрии.
Ось симметрии двух точек A и B — их серединный перпендикуляр (прямая, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно ему).
Построение. Строим две окружности радиуса AB с центрами A и B; они пересекаются в точках M1 и M2. Прямая M1M2 — искомая ось симметрии.
Доказательство: AM1 = BM1 = AM2 = BM2, поэтому M1 и M2 лежат на серединном перпендикуляре к AB.
Построение. Строим две окружности радиуса AB с центрами A и B; они пересекаются в точках M1 и M2. Прямая M1M2 — искомая ось симметрии.
Доказательство: AM1 = BM1 = AM2 = BM2, поэтому M1 и M2 лежат на серединном перпендикуляре к AB.
377. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
Анализ. Точки A и B симметричны относительно прямой l, значит, l — серединный перпендикуляр к AB.
Построение.
1) Строим серединный перпендикуляр l к отрезку AB (две окружности радиуса AB с центрами A и B).
2) Строим точку M1, симметричную точке M относительно l: проводим из M перпендикуляр к l с основанием H и откладываем HM1 = MH на продолжении (или одним циркулем, как в задаче 375).
Точка M1 искомая: она симметрична M относительно прямой l, относительно которой симметричны A и B.
Построение.
1) Строим серединный перпендикуляр l к отрезку AB (две окружности радиуса AB с центрами A и B).
2) Строим точку M1, симметричную точке M относительно l: проводим из M перпендикуляр к l с основанием H и откладываем HM1 = MH на продолжении (или одним циркулем, как в задаче 375).
Точка M1 искомая: она симметрична M относительно прямой l, относительно которой симметричны A и B.
378. Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC относительно прямой p. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A1B1C1 соответственно равны сторонам и углам треугольника ABC. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника.
Построение.
1) Чертим треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его сторон.
2) Для каждой вершины строим симметричную точку: из вершины опускаем перпендикуляр на p и откладываем за прямой равный ему отрезок. Получаем A1, B1, C1.
3) Соединяем A1, B1, C1: треугольник A1B1C1 симметричен треугольнику ABC.
4) Измеряем линейкой и транспортиром: A1B1 = AB, B1C1 = BC, C1A1 = CA, ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B, ∠C1 = ∠C. (При осевой симметрии расстояния сохраняются, поэтому треугольники равны по трём сторонам.)
Повторяем построение для прямой p, пересекающей две стороны треугольника: для вершин, лежащих по разные стороны от p, симметричные точки оказываются по другую сторону; выводы те же (см. правую часть рисунка).
1) Чертим треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его сторон.
2) Для каждой вершины строим симметричную точку: из вершины опускаем перпендикуляр на p и откладываем за прямой равный ему отрезок. Получаем A1, B1, C1.
3) Соединяем A1, B1, C1: треугольник A1B1C1 симметричен треугольнику ABC.
4) Измеряем линейкой и транспортиром: A1B1 = AB, B1C1 = BC, C1A1 = CA, ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B, ∠C1 = ∠C. (При осевой симметрии расстояния сохраняются, поэтому треугольники равны по трём сторонам.)
Повторяем построение для прямой p, пересекающей две стороны треугольника: для вершин, лежащих по разные стороны от p, симметричные точки оказываются по другую сторону; выводы те же (см. правую часть рисунка).
379. Начертите следующие фигуры и для каждой из них постройте ось симметрии, если она существует: а) отрезок AB; б) угол hk; в) равнобедренный треугольник; г) разносторонний треугольник; д) равносторонний треугольник.
а) Отрезок AB: две оси — серединный перпендикуляр к AB и сама прямая AB.
б) Угол hk (неразвёрнутый): одна ось — прямая, содержащая биссектрису угла.
в) Равнобедренный треугольник (не равносторонний): одна ось — серединный перпендикуляр к основанию (содержит высоту, медиану и биссектрису, проведённые к основанию).
г) Разносторонний треугольник: оси симметрии не существует (если бы существовала, треугольник был бы равнобедренным, см. задачу 393).
д) Равносторонний треугольник: три оси — серединные перпендикуляры к трём сторонам (прямые, содержащие высоты).
Построение осей см. на рисунке (красные штриховые линии): серединные перпендикуляры строятся циркулем и линейкой, биссектриса угла — тоже.
б) Угол hk (неразвёрнутый): одна ось — прямая, содержащая биссектрису угла.
в) Равнобедренный треугольник (не равносторонний): одна ось — серединный перпендикуляр к основанию (содержит высоту, медиану и биссектрису, проведённые к основанию).
г) Разносторонний треугольник: оси симметрии не существует (если бы существовала, треугольник был бы равнобедренным, см. задачу 393).
д) Равносторонний треугольник: три оси — серединные перпендикуляры к трём сторонам (прямые, содержащие высоты).
Построение осей см. на рисунке (красные штриховые линии): серединные перпендикуляры строятся циркулем и линейкой, биссектриса угла — тоже.
380. Начертите фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии; б) несколько осей симметрии.
а) Только одну ось симметрии имеет, например, равнобедренный (не равносторонний) треугольник: его ось — серединный перпендикуляр к основанию.
б) Несколько осей имеют, например, квадрат (четыре оси: две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон), равносторонний треугольник (три оси), окружность (бесконечно много осей).
б) Несколько осей имеют, например, квадрат (четыре оси: две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон), равносторонний треугольник (три оси), окружность (бесконечно много осей).
381. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч; г) угол?
а) Отрезок: две оси — серединный перпендикуляр к нему и прямая, на которой он лежит.
б) Прямая: бесконечно много осей — сама прямая и каждая прямая, перпендикулярная ей.
в) Луч: одна ось — прямая, на которой лежит луч (перпендикулярная прямая не подходит, так как луч уходит в одну сторону).
г) Угол: неразвёрнутый угол имеет одну ось (прямая, содержащая биссектрису); развёрнутый угол — это прямая с отмеченной вершиной, у него две оси (сама прямая и перпендикуляр к ней в вершине).
б) Прямая: бесконечно много осей — сама прямая и каждая прямая, перпендикулярная ей.
в) Луч: одна ось — прямая, на которой лежит луч (перпендикулярная прямая не подходит, так как луч уходит в одну сторону).
г) Угол: неразвёрнутый угол имеет одну ось (прямая, содержащая биссектрису); развёрнутый угол — это прямая с отмеченной вершиной, у него две оси (сама прямая и перпендикуляр к ней в вершине).
382. Перенесите в тетрадь таблицу. Нарисуйте примеры фигур с данным числом осей. [таблица: число осей симметрии — не имеет осей, одна ось, две оси, три оси, бесконечное число осей; строка «Геометрическая фигура» пустая]
Примеры фигур с данным числом осей симметрии (на рисунке ось показана красной штриховой линией):
нет осей — разносторонний треугольник, буква Б;
одна ось — равнобедренный (не равносторонний) треугольник, неразвёрнутый угол;
две оси — отрезок, прямоугольник, не являющийся квадратом;
три оси — равносторонний треугольник;
бесконечное число осей — окружность, прямая.
нет осей — разносторонний треугольник, буква Б;
одна ось — равнобедренный (не равносторонний) треугольник, неразвёрнутый угол;
две оси — отрезок, прямоугольник, не являющийся квадратом;
три оси — равносторонний треугольник;
бесконечное число осей — окружность, прямая.