Глава V. §2. Окружность. Касательная к окружности — с. 105
363. Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой, и постройте окружность, проходящую через эти точки.
Построение.
1) Пусть A, B, C — данные точки, не лежащие на одной прямой. Строим серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC.
2) Они пересекаются в точке O (они не параллельны, так как прямые AB и BC не параллельны).
3) Строим окружность с центром O радиуса OA.
Доказательство. O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому OA = OB; O лежит на серединном перпендикуляре к BC, поэтому OB = OC. Значит, OA = OB = OC, и окружность с центром O радиуса OA проходит через A, B и C (это окружность, описанная около треугольника ABC).
1) Пусть A, B, C — данные точки, не лежащие на одной прямой. Строим серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC.
2) Они пересекаются в точке O (они не параллельны, так как прямые AB и BC не параллельны).
3) Строим окружность с центром O радиуса OA.
Доказательство. O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому OA = OB; O лежит на серединном перпендикуляре к BC, поэтому OB = OC. Значит, OA = OB = OC, и окружность с центром O радиуса OA проходит через A, B и C (это окружность, описанная около треугольника ABC).
364. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. Для каждого из них постройте описанную окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?
Для каждого треугольника строим серединные перпендикуляры к двум сторонам; их точка пересечения O — центр описанной окружности, радиус равен расстоянию от O до любой вершины.
Результат (см. рисунок):
у остроугольного треугольника центр лежит внутри треугольника;
у прямоугольного треугольника центр — середина гипотенузы (описанная окружность построена на гипотенузе как на диаметре);
у тупоугольного треугольника центр лежит вне треугольника, по другую сторону от самой длинной стороны, чем тупой угол.
Результат (см. рисунок):
у остроугольного треугольника центр лежит внутри треугольника;
у прямоугольного треугольника центр — середина гипотенузы (описанная окружность построена на гипотенузе как на диаметре);
у тупоугольного треугольника центр лежит вне треугольника, по другую сторону от самой длинной стороны, чем тупой угол.
365. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. В каждый из них впишите окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?
Для каждого треугольника строим биссектрисы двух углов; их точка пересечения O — центр вписанной окружности. Радиус равен длине перпендикуляра, опущенного из O на любую сторону.
Результат (см. рисунок): во всех трёх случаях (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный треугольники) центр вписанной окружности лежит внутри треугольника, потому что биссектрисы углов треугольника пересекаются внутри него.
Результат (см. рисунок): во всех трёх случаях (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный треугольники) центр вписанной окружности лежит внутри треугольника, потому что биссектрисы углов треугольника пересекаются внутри него.
366. Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны, поэтому он равнобедренный относительно любой из вершин. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой. Значит, в равностороннем треугольнике биссектриса каждого угла является и медианой, и высотой.
Серединный перпендикуляр к стороне проходит через середину стороны перпендикулярно ей, то есть содержит медиану-высоту, проведённую к этой стороне, а значит, содержит и биссектрису противолежащего угла.
Поэтому точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) лежит на всех трёх серединных перпендикулярах (центр описанной окружности — их точка пересечения). Две прямые пересекаются не более чем в одной точке, поэтому эти центры совпадают.
Серединный перпендикуляр к стороне проходит через середину стороны перпендикулярно ей, то есть содержит медиану-высоту, проведённую к этой стороне, а значит, содержит и биссектрису противолежащего угла.
Поэтому точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) лежит на всех трёх серединных перпендикулярах (центр описанной окружности — их точка пересечения). Две прямые пересекаются не более чем в одной точке, поэтому эти центры совпадают.
367. Укажите, какие из треугольников, изображённых на рисунке 169, являются вписанными. [рисунок 169: окружность и треугольники ABC, EFG, NHU]
Многоугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на окружности.
Треугольник ABC: все три вершины на окружности, вписан.
Треугольник EFG: вершины E и G лежат на окружности, а F внутри неё, не вписан.
Треугольник NHU: все вершины внутри окружности, не вписан.
Ответ: вписанным является только треугольник ABC.
Оговорка: ответ получен по рисунку 169 (положение вершин относительно окружности).
Треугольник ABC: все три вершины на окружности, вписан.
Треугольник EFG: вершины E и G лежат на окружности, а F внутри неё, не вписан.
Треугольник NHU: все вершины внутри окружности, не вписан.
Ответ: вписанным является только треугольник ABC.
Оговорка: ответ получен по рисунку 169 (положение вершин относительно окружности).
368. Укажите, какие из треугольников АВС, СED, LMN и CTS, изображённых на рисунке 170, являются описанными около окружности. [рисунок 170: окружность и треугольники ABC, CED, LMN, CTS]
Треугольник описан около окружности, если все три его стороны (как отрезки) касаются окружности, то есть точки касания лежат на самих сторонах.
Треугольники ABC и LMN: стороны лежат на шести касательных, и точки касания принадлежат этим сторонам (каждая сторона касается окружности), они описанные.
Треугольник CED: стороны CD и CE лежат на касательных, но точки касания лежат вне отрезков CD и CE (за точками D и E), поэтому они не касаются окружности; не описанный.
Треугольник CTS: сторона TS — хорда окружности, пересекающая её, то есть не касательная; не описанный.
Ответ: ABC и LMN.
Оговорка: ответ получен по рисунку 170; положение точек касания определено визуально.
Треугольники ABC и LMN: стороны лежат на шести касательных, и точки касания принадлежат этим сторонам (каждая сторона касается окружности), они описанные.
Треугольник CED: стороны CD и CE лежат на касательных, но точки касания лежат вне отрезков CD и CE (за точками D и E), поэтому они не касаются окружности; не описанный.
Треугольник CTS: сторона TS — хорда окружности, пересекающая её, то есть не касательная; не описанный.
Ответ: ABC и LMN.
Оговорка: ответ получен по рисунку 170; положение точек касания определено визуально.