Упражнения 336–347 — Глава V. §2. Окружность. Касательная к окружности

Пусть AB — диаметр окружности с центром O, радиус r, а CD — хорда, не проходящая через центр. Тогда точки C, O, D не лежат на одной прямой и образуют треугольник COD, в котором OC = OD = r.
По неравенству треугольника CD < OC + OD = r + r = 2r = AB.
Значит, любая хорда, не проходящая через центр, меньше диаметра.

Предположим противное: пусть AB (или AC) — диаметр, а AB = AC, B ≠ C. Тогда хорда AC равна диаметру 2r. По задаче 336 хорда, не проходящая через центр, меньше диаметра; поэтому AC обязана проходить через центр O.
Но через точки A и O проходит единственная прямая; она пересекает окружность ровно в двух точках: A и конце диаметра B. Значит, C = B, и хорды AB и AC совпадают. Это противоречит условию (хорды различны).
Поэтому ни одна из равных хорд AB и AC не может быть диаметром.

Пусть O — центр, AB — диаметр, точка C лежит внутри окружности и не лежит на прямой AB.
Луч AC выходит из точки A окружности и пересекает её ещё в одной точке D; внутренняя точка C лежит на хорде AD между A и D. Точка D не совпадает с B, так как C не лежит на AB.
Угол ADB опирается на диаметр, то есть диаметр AB виден из точки D окружности под прямым углом: ∠ADB = 90°.
Угол ACB — внешний угол треугольника BCD при вершине C (он смежный с ∠BCD). По теореме о внешнем угле ∠ACB = ∠CBD + ∠CDB > ∠CDB = 90°.
Следовательно, угол ACB тупой.

Пусть O — центр окружности (середина диаметра AB), C — внешняя точка, не лежащая на прямой AB. Тогда OC > r, и отрезок OC пересекает окружность в некоторой точке D между O и C.
Точка D не совпадает с A и B (иначе C лежала бы на прямой AB), поэтому ∠ADB = 90° (диаметр виден из точки окружности под прямым углом).
Точка D лежит внутри треугольника ABC (на отрезке, соединяющем точку O стороны AB с вершиной C). Продолжим луч AD до пересечения со стороной BC в точке E; D лежит между A и E.
Угол ADB — внешний угол треугольника BDE, поэтому ∠ADB > ∠AEB. Угол AEB — внешний угол треугольника AEC, поэтому ∠AEB > ∠ACB.
Итак, ∠ACB < ∠AEB < ∠ADB = 90°, то есть угол ACB острый.

Пусть даны параллельные хорды окружности с центром O. Проведём через O прямую l, перпендикулярную этим хордам (она единственна).
Если хорда не проходит через центр, то диаметр, проведённый через её середину, перпендикулярен хорде (свойство диаметра). Через точку O перпендикулярно хорде проходит единственная прямая, это l. Значит, середина хорды лежит на диаметре, лежащем на прямой l.
Если хорда сама является диаметром, то её середина — точка O, которая тоже лежит на l.
Итак, середины всех параллельных хорд лежат на одном диаметре — диаметре, перпендикулярном этим хордам.

Пусть хорды AB и CD равны, O — центр, OH ⊥ AB и OK ⊥ CD. Если хорда проходит через центр, расстояние до неё равно 0, и тогда другая хорда (она тоже равна диаметру) также проходит через центр. Рассмотрим остальной случай.
Треугольники AOB и COD равнобедренные (OA = OB = OC = OD = r) и равны по трём сторонам (AB = CD по условию). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, и OH, OK — соответственные высоты равных треугольников. Поэтому OH = OK.
Значит, равные хорды равноудалены от центра.

Пусть хорды AB и CD окружности с центром O равноудалены от центра: OH ⊥ AB, OK ⊥ CD и OH = OK. Если OH = OK = 0, обе хорды — диаметры, и они равны.
Иначе прямоугольные треугольники OHA и OKC равны по гипотенузе и катету (OA = OC = r, OH = OK). Значит, AH = CK.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому H и K — середины хорд: AB = 2AH, CD = 2CK. Следовательно, AB = CD.

Пусть расстояние от центра O до прямой a равно радиусу r, и OA — перпендикуляр к a (A лежит на a), так что OA = r.
Значит, точка A лежит на окружности, а прямая a проходит через конец радиуса OA, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу. По признаку касательной a — касательная к окружности (в точке A).

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому расстояние от центра O до касательной a равно радиусу.
Радиус равен половине диаметра: 14 : 2 = 7 см.
Ответ: 7 см.

Пусть AB — диаметр окружности, a и b — касательные в точках A и B.
По свойству касательной a ⊥ OA и b ⊥ OB, а точки A, O, B лежат на одной прямой, то есть a ⊥ AB и b ⊥ AB.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Значит, a ∥ b.

AB — отрезок касательной, B — точка касания, поэтому OB ⊥ AB, и треугольник OBA прямоугольный с прямым углом B.
Так как ∠AOB = 45°, второй острый угол ∠OAB = 90° − 45° = 45°. Треугольник OBA равнобедренный: AB = OB = 12 см.
Ответ: 12 см.

По условию точки на прямой p расположены в порядке B, A, C, D; A — точка касания. Отрезок (луч) называется касательным, если он лежит на касательной и точка касания принадлежит ему.
а) AC — касательный (A — его конец); BC — касательный (A лежит между B и C); CD — не касательный (точка A ему не принадлежит).
Ответ: AC, BC.
б) Луч AC начинается в A — касательный; луч CA проходит через A — касательный; луч CD идёт от C в сторону D и не содержит A — не касательный; луч DB, начинающийся в D и проходящий через C, A, B, содержит A — касательный.
Ответ: AC, CA, DB.