Упражнения 331–335 — Глава V. §1. Геометрические места точек

Пусть данные прямые a и b пересекаются в точке O. Они образуют четыре неразвёрнутых угла.
Точки, лежащие внутри одного из этих углов и равноудалённые от его сторон, по следствию 1 теоремы о биссектрисе угла лежат на биссектрисе этого угла. Точка O тоже равноудалена от обеих прямых (расстояния равны нулю). Любая другая точка одной из данных прямых не подходит: от этой прямой она находится на расстоянии 0, а от другой прямой на расстоянии, большем 0.
Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, поэтому четыре биссектрисы дают две прямые, содержащие биссектрисы смежных углов; они перпендикулярны (биссектрисы смежных углов образуют угол (180°)/2 = 90°).
Ответ: искомое геометрическое место — две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения данных прямых и содержащие биссектрисы образованных ими углов.

Пусть a ∥ b, а расстояние между ними равно d (длина общего перпендикуляра). Проведём через произвольную точку M перпендикуляр к обеим прямым; он пересекает a и b в точках P и Q, причём PQ = d.
1) Если M лежит между прямыми, то MP + MQ = d. Равенство MP = MQ выполнено тогда и только тогда, когда MP = MQ = d/2, то есть M — середина общего перпендикуляра.
2) Если M лежит вне полосы между прямыми, то |MP − MQ| = d ≠ 0, и равноудалённости нет.
3) Если M лежит на одной из прямых, то расстояние до неё равно 0, а до другой равно d, значит, M не подходит.
Середины всех общих перпендикуляров удалены от a на d/2 и лежат по одну сторону от a, поэтому образуют прямую m, параллельную a и b.
Ответ: искомое геометрическое место — прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними (на расстоянии d/2 от каждой).

Построение.
1) Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AB (две окружности радиуса AB с центрами A и B, прямая через точки их пересечения).
2) Так же строим серединный перпендикуляр n к отрезку CD.
3) Точка M — пересечение прямых m и n.
Доказательство. M лежит на m, значит, MA = MB (каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка); M лежит на n, значит, MC = MD.
Исследование. Если AB не параллельна CD, то m и n не параллельны (они перпендикулярны этим прямым), и решение единственное. Если AB ∥ CD, то m ∥ n: при несовпадающих m и n решений нет, а при совпадающих m и n (середины отрезков лежат на одном общем перпендикуляре к ним) решений бесконечно много — любая точка этой прямой.

Построение.
1) Строим биссектрису угла (на рисунке красная): все точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на ней.
2) Строим серединный перпендикуляр к отрезку AB (синий): все точки, равноудалённые от A и B, лежат на нём.
3) Искомая точка M — пересечение биссектрисы и серединного перпендикуляра.
Доказательство. M лежит на биссектрисе, поэтому равноудалена от сторон угла, и на серединном перпендикуляре, поэтому MA = MB.
Исследование. Если серединный перпендикуляр пересекает луч-биссектрису, получаем одну точку. Если он параллелен биссектрисе или пересекает её прямую вне угла, решений нет. Если серединный перпендикуляр содержит биссектрису, то подходят все её точки.

Пусть OK, OL и OM — перпендикуляры из точки O к прямым AB, BC и CA.
Внешний угол при вершине B образован лучом BC и продолжением стороны AB за точку B. Точка O лежит на его биссектрисе, а каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон (теорема о биссектрисе угла). Значит, OK = OL.
Внешний угол при вершине C образован лучом CB и продолжением стороны AC за точку C. Точка O лежит и на его биссектрисе, поэтому OL = OM.
Следовательно, OK = OL = OM, то есть точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA, что и требовалось доказать.