Глава V. §2. Окружность. Касательная к окружности — с. 104
348. Две окружности с центрами О1 и О2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая — в точках В и С. Докажите, что AB = CD.
Пусть O — вершина угла. Будем считать, что A и B лежат на одной стороне угла, а D и C — на другой.
Отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны: для первой окружности OA = OD, для второй — OB = OC.
Тогда AB = |OA − OB| = |OD − OC| = CD (разность отрезков, лежащих на одном луче, равна расстоянию между их концами).
Итак, AB = CD.
Оговорка: рисунка в условии нет; считаем, что A и B лежат на одной стороне угла, а D и C — на другой.
Отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны: для первой окружности OA = OD, для второй — OB = OC.
Тогда AB = |OA − OB| = |OD − OC| = CD (разность отрезков, лежащих на одном луче, равна расстоянию между их концами).
Итак, AB = CD.
Оговорка: рисунка в условии нет; считаем, что A и B лежат на одной стороне угла, а D и C — на другой.
349. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Пусть O — центр, AB — хорда, равная радиусу, а касательная проведена в точке A.
Треугольник OAB равносторонний (OA = OB = AB = r), поэтому ∠OAB = 60°.
Касательная перпендикулярна радиусу OA. Угол между касательной и хордой AB равен 90° − 60° = 30° (смежный угол равен 150°).
Ответ: 30°.
Треугольник OAB равносторонний (OA = OB = AB = r), поэтому ∠OAB = 60°.
Касательная перпендикулярна радиусу OA. Угол между касательной и хордой AB равен 90° − 60° = 30° (смежный угол равен 150°).
Ответ: 30°.
350. Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.
Пусть O — центр, хорда AB равна радиусу. Тогда треугольник OAB равносторонний и ∠AOB = 60°.
Касательные CA и CB перпендикулярны радиусам OA и OB. Прямоугольные треугольники OAC и OBC равны по гипотенузе OC и катету (OA = OB), значит, ∠AOC = ∠BOC = 30° и ∠ACO = ∠BCO.
В треугольнике OAC ∠ACO = 90° − 30° = 60°. Поэтому ∠ACB = 2 · 60° = 120°.
Ответ: 120°.
Касательные CA и CB перпендикулярны радиусам OA и OB. Прямоугольные треугольники OAC и OBC равны по гипотенузе OC и катету (OA = OB), значит, ∠AOC = ∠BOC = 30° и ∠ACO = ∠BCO.
В треугольнике OAC ∠ACO = 90° − 30° = 60°. Поэтому ∠ACB = 2 · 60° = 120°.
Ответ: 120°.
351. Угол между диаметром AB и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
Пусть O — центр окружности (середина диаметра AB), ∠BAC = 30°. Треугольник AOC равнобедренный (OA = OC), поэтому ∠OCA = ∠OAC = 30°.
Касательная CD перпендикулярна радиусу OC: ∠OCD = 90°. Тогда ∠ACD = ∠ACO + ∠OCD = 30° + 90° = 120°.
Угол COD — внешний угол треугольника AOC, ∠COD = 30° + 30° = 60°. В прямоугольном треугольнике OCD ∠ODC = 90° − 60° = 30°.
В треугольнике ACD ∠CAD = ∠CDA = 30°, значит, он равнобедренный (AC = CD), что и требовалось доказать.
Касательная CD перпендикулярна радиусу OC: ∠OCD = 90°. Тогда ∠ACD = ∠ACO + ∠OCD = 30° + 90° = 120°.
Угол COD — внешний угол треугольника AOC, ∠COD = 30° + 30° = 60°. В прямоугольном треугольнике OCD ∠ODC = 90° − 60° = 30°.
В треугольнике ACD ∠CAD = ∠CDA = 30°, значит, он равнобедренный (AC = CD), что и требовалось доказать.
352. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.
Пусть AB и AC — касательные, B и C — точки касания. Радиус OB перпендикулярен касательной AB, значит, треугольник OBA прямоугольный с гипотенузой OA = 9 см и катетом OB = 4,5 см = OA/2.
Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°, поэтому ∠OAB = 30°.
По свойству отрезков касательных AO — биссектриса угла BAC, значит, ∠BAC = 2 · 30° = 60°.
Ответ: 60°.
Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°, поэтому ∠OAB = 30°.
По свойству отрезков касательных AO — биссектриса угла BAC, значит, ∠BAC = 2 · 30° = 60°.
Ответ: 60°.
353. Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
Пусть M — середина AO, лежащая на окружности: OM = r. Тогда OA = 2·OM = 2r.
В прямоугольном треугольнике OBA (OB ⊥ AB как радиус, проведённый в точку касания) катет OB = r равен половине гипотенузы OA = 2r, поэтому ∠OAB = 30°.
Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой AO, значит, ∠BAC = 2 · 30° = 60°.
Ответ: 60°.
В прямоугольном треугольнике OBA (OB ⊥ AB как радиус, проведённый в точку касания) катет OB = r равен половине гипотенузы OA = 2r, поэтому ∠OAB = 30°.
Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой AO, значит, ∠BAC = 2 · 30° = 60°.
Ответ: 60°.
354. На рисунке 162 ОВ = 3 см, ОА = 6 см. Найдите ∠3 и ∠4. [рисунок 162: две касательные AB и AC из точки A к окружности с центром O; ∠3 = ∠BAO, ∠4 = ∠CAO]
На рисунке 162 ∠3 = ∠BAO и ∠4 = ∠CAO, OB ⊥ AB, OC ⊥ AC.
В прямоугольном треугольнике ABO катет OB = 3 см, гипотенуза OA = 6 см, то есть OB = OA/2. Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°, поэтому ∠3 = ∠BAO = 30°.
Отрезки касательных составляют равные углы с прямой AO, поэтому ∠4 = ∠3 = 30°.
Ответ: ∠3 = 30°, ∠4 = 30°.
В прямоугольном треугольнике ABO катет OB = 3 см, гипотенуза OA = 6 см, то есть OB = OA/2. Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°, поэтому ∠3 = ∠BAO = 30°.
Отрезки касательных составляют равные углы с прямой AO, поэтому ∠4 = ∠3 = 30°.
Ответ: ∠3 = 30°, ∠4 = 30°.
355. Прямые AB и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, AB = 5 см.
AB и AC — отрезки касательных, проведённых из точки A, поэтому AC = AB = 5 см и ∠OAC = ∠OAB = 30°. Значит, ∠BAC = 60°.
Треугольник ABC равнобедренный (AB = AC) с углом 60° при вершине, поэтому его углы при основании равны (180° − 60°) : 2 = 60°, и он равносторонний.
Следовательно, BC = AB = 5 см.
Ответ: 5 см.
Треугольник ABC равнобедренный (AB = AC) с углом 60° при вершине, поэтому его углы при основании равны (180° − 60°) : 2 = 60°, и он равносторонний.
Следовательно, BC = AB = 5 см.
Ответ: 5 см.
356. В треугольнике ABC угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса AB; б) прямая AB является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами ВA и BС.
По условию AB ⊥ BC.
а) Окружность с центром A и радиусом AB проходит через B, и AB — её радиус. Прямая BC проходит через конец радиуса B, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу. По признаку касательной BC — касательная.
б) Окружность с центром C и радиусом CB проходит через B, и CB — радиус. Прямая AB перпендикулярна CB в точке B, поэтому по признаку касательной AB — касательная.
в) Окружность с центром B и радиусом BA проходит через A. Если бы прямая AC была касательной, то касалась бы в точке A (это общая точка) и была бы перпендикулярна радиусу BA. Но ∠BAC — острый угол прямоугольного треугольника, значит, AC не перпендикулярна BA, и AC не касательная (она пересекает окружность ещё в одной точке).
Окружность с центром B и радиусом BC проходит через C. Касательная в точке C была бы перпендикулярна BC, но ∠BCA острый. Поэтому AC не является касательной и к этой окружности.
а) Окружность с центром A и радиусом AB проходит через B, и AB — её радиус. Прямая BC проходит через конец радиуса B, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу. По признаку касательной BC — касательная.
б) Окружность с центром C и радиусом CB проходит через B, и CB — радиус. Прямая AB перпендикулярна CB в точке B, поэтому по признаку касательной AB — касательная.
в) Окружность с центром B и радиусом BA проходит через A. Если бы прямая AC была касательной, то касалась бы в точке A (это общая точка) и была бы перпендикулярна радиусу BA. Но ∠BAC — острый угол прямоугольного треугольника, значит, AC не перпендикулярна BA, и AC не касательная (она пересекает окружность ещё в одной точке).
Окружность с центром B и радиусом BC проходит через C. Касательная в точке C была бы перпендикулярна BC, но ∠BCA острый. Поэтому AC не является касательной и к этой окружности.
357. Дана окружность с центром в точке О. Прямая пересекает окружность в точках A и H. Найдите расстояние от точки О до прямой, если AH = 8 см, ∠AOH = 90°.
OA = OH = r, ∠AOH = 90°, так что треугольник AOH прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AH = 8 см.
Расстояние от точки O до прямой AH — длина перпендикуляра OM. В равнобедренном треугольнике высота OM, проведённая к основанию, является медианой, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: OM = AH : 2 = 4 см.
Ответ: 4 см.
Расстояние от точки O до прямой AH — длина перпендикуляра OM. В равнобедренном треугольнике высота OM, проведённая к основанию, является медианой, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: OM = AH : 2 = 4 см.
Ответ: 4 см.
358. Постройте касательную к данной окружности, параллельную к данной прямой.
Анализ. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Если она параллельна прямой a, то этот радиус перпендикулярен a.
Построение.
1) Через центр O проводим прямую n, перпендикулярную a.
2) Прямая n пересекает окружность в точках T и T1.
3) Через T и через T1 проводим прямые, перпендикулярные n.
Доказательство. Каждая из построенных прямых перпендикулярна радиусу OT (или OT1) в его конце, лежащем на окружности, значит, по признаку касательной она касательная. Обе прямые перпендикулярны n, как и a, поэтому они параллельны a.
Исследование. Задача всегда имеет два решения (две касательные, симметричные относительно центра).
Построение.
1) Через центр O проводим прямую n, перпендикулярную a.
2) Прямая n пересекает окружность в точках T и T1.
3) Через T и через T1 проводим прямые, перпендикулярные n.
Доказательство. Каждая из построенных прямых перпендикулярна радиусу OT (или OT1) в его конце, лежащем на окружности, значит, по признаку касательной она касательная. Обе прямые перпендикулярны n, как и a, поэтому они параллельны a.
Исследование. Задача всегда имеет два решения (две касательные, симметричные относительно центра).
359. Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную к данной прямой.
Анализ. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Если касательная перпендикулярна прямой a, то этот радиус параллелен a.
Построение.
1) Через центр O проводим прямую n, параллельную a.
2) Прямая n пересекает окружность в точках T и T1.
3) Через T и T1 проводим прямые, перпендикулярные n.
Доказательство. Эти прямые перпендикулярны радиусам OT и OT1, значит, они касательные. Так как они перпендикулярны n, а n ∥ a, то они перпендикулярны a.
Исследование. Всегда два решения.
Построение.
1) Через центр O проводим прямую n, параллельную a.
2) Прямая n пересекает окружность в точках T и T1.
3) Через T и T1 проводим прямые, перпендикулярные n.
Доказательство. Эти прямые перпендикулярны радиусам OT и OT1, значит, они касательные. Так как они перпендикулярны n, а n ∥ a, то они перпендикулярны a.
Исследование. Всегда два решения.
360. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и проведённой к ней высоте.
Пусть даны гипотенуза c и высота h, проведённая к ней.
Анализ. Вершина C прямого угла лежит на окружности с диаметром AB (диаметр виден из точки C под прямым углом) и находится на расстоянии h от прямой AB.
Построение.
1) Строим отрезок AB = c и его середину O.
2) Строим окружность с центром O радиуса OA (диаметр AB).
3) Строим прямую m, параллельную AB и удалённую от неё на h (например, перпендикуляр к AB в какой-нибудь точке, на нём откладываем h, и через конец проводим прямую, перпендикулярную этому перпендикуляру).
4) C — точка пересечения m и окружности. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB = 90°; AB = c; расстояние от C до AB равно h.
Исследование. Если h < c/2, то прямая m пересекает окружность в двух симметричных точках (C и C1), получаются два равных треугольника; если h = c/2, то одна точка (равнобедренный прямоугольный треугольник); если h > c/2, решений нет.
Анализ. Вершина C прямого угла лежит на окружности с диаметром AB (диаметр виден из точки C под прямым углом) и находится на расстоянии h от прямой AB.
Построение.
1) Строим отрезок AB = c и его середину O.
2) Строим окружность с центром O радиуса OA (диаметр AB).
3) Строим прямую m, параллельную AB и удалённую от неё на h (например, перпендикуляр к AB в какой-нибудь точке, на нём откладываем h, и через конец проводим прямую, перпендикулярную этому перпендикуляру).
4) C — точка пересечения m и окружности. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB = 90°; AB = c; расстояние от C до AB равно h.
Исследование. Если h < c/2, то прямая m пересекает окружность в двух симметричных точках (C и C1), получаются два равных треугольника; если h = c/2, то одна точка (равнобедренный прямоугольный треугольник); если h > c/2, решений нет.
361. Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведённым к гипотенузе.
Пусть даны медиана m и высота h, проведённые к гипотенузе.
Анализ. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, значит, гипотенуза равна 2m. Тем самым задача сводится к предыдущей: построению прямоугольного треугольника по гипотенузе c = 2m и высоте h (задача 360).
Построение.
1) Строим отрезок AB, равный 2m (откладываем данную медиану дважды), и его середину O.
2) Строим окружность с центром O радиуса m.
3) Строим прямую, параллельную AB на расстоянии h.
4) Точку пересечения прямой с окружностью обозначаем C; ABC — искомый треугольник.
Доказательство. C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠C = 90°; медиана CO равна радиусу m; высота из C равна h.
Исследование. Решение существует при h ≤ m (при h < m — два равных треугольника, при h = m — один равнобедренный); при h > m решений нет.
Анализ. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, значит, гипотенуза равна 2m. Тем самым задача сводится к предыдущей: построению прямоугольного треугольника по гипотенузе c = 2m и высоте h (задача 360).
Построение.
1) Строим отрезок AB, равный 2m (откладываем данную медиану дважды), и его середину O.
2) Строим окружность с центром O радиуса m.
3) Строим прямую, параллельную AB на расстоянии h.
4) Точку пересечения прямой с окружностью обозначаем C; ABC — искомый треугольник.
Доказательство. C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠C = 90°; медиана CO равна радиусу m; высота из C равна h.
Исследование. Решение существует при h ≤ m (при h < m — два равных треугольника, при h = m — один равнобедренный); при h > m решений нет.
362. Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Построение.
1) Строим окружность с центром A радиуса AB.
2) Строим окружность с центром B радиуса AB.
3) Эти окружности пересекаются в двух точках M1 и M2 (по обе стороны от AB).
4) Проводим прямую M1M2.
Доказательство. AM1 = AM2 = BM1 = BM2 (радиусы равных окружностей), значит, точки M1 и M2 равноудалены от концов отрезка AB, поэтому лежат на серединном перпендикуляре к AB. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая M1M2 и есть серединный перпендикуляр к AB.
1) Строим окружность с центром A радиуса AB.
2) Строим окружность с центром B радиуса AB.
3) Эти окружности пересекаются в двух точках M1 и M2 (по обе стороны от AB).
4) Проводим прямую M1M2.
Доказательство. AM1 = AM2 = BM1 = BM2 (радиусы равных окружностей), значит, точки M1 и M2 равноудалены от концов отрезка AB, поэтому лежат на серединном перпендикуляре к AB. Через две точки проходит единственная прямая, поэтому прямая M1M2 и есть серединный перпендикуляр к AB.