Глава V. §3. Симметричные фигуры. Задачи — с. 112
392. Прямая ВО — ось симметрии угла АВС. Треугольник ВА1С1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков А1С и АС1, если ВА = 5,4 см, ВС = 35 мм.
BO — ось симметрии угла ABC (его биссектриса): при симметрии луч BA переходит в луч BC, а луч BC — в луч BA.
Точка A1 симметрична A, значит, лежит на луче BC, и BA1 = BA = 5,4 см. Точка C1 симметрична C, значит, лежит на луче BA, и BC1 = BC = 35 мм = 3,5 см.
Тогда A1C = BA1 − BC = 5,4 − 3,5 = 1,9 см = 19 мм и AC1 = BA − BC1 = 5,4 − 3,5 = 1,9 см = 19 мм.
Ответ: A1C = AC1 = 19 мм.
Точка A1 симметрична A, значит, лежит на луче BC, и BA1 = BA = 5,4 см. Точка C1 симметрична C, значит, лежит на луче BA, и BC1 = BC = 35 мм = 3,5 см.
Тогда A1C = BA1 − BC = 5,4 − 3,5 = 1,9 см = 19 мм и AC1 = BA − BC1 = 5,4 − 3,5 = 1,9 см = 19 мм.
Ответ: A1C = AC1 = 19 мм.
393. Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.
Пусть p — ось симметрии треугольника ABC. Тогда каждой вершине симметрична точка, также являющаяся вершиной (отрезок переходит в отрезок, а фигура — в себя).
Хотя бы одна вершина не лежит на p (иначе все три вершины лежали бы на одной прямой). Пусть, например, B не лежит на p. Она переходит при симметрии в другую вершину: A или C. Пусть B и C симметричны относительно p.
Тогда вершина A не может быть симметрична ни B, ни C (она переходит в вершину, отличную от B и C, а значит в саму себя), и поэтому A лежит на p.
При симметрии относительно p стороны AB и AC переходят друг в друга, а симметричные отрезки равны: AB = AC. Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
Так как B и C симметричны относительно p, прямая p — серединный перпендикуляр к BC. Итак, осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.
Хотя бы одна вершина не лежит на p (иначе все три вершины лежали бы на одной прямой). Пусть, например, B не лежит на p. Она переходит при симметрии в другую вершину: A или C. Пусть B и C симметричны относительно p.
Тогда вершина A не может быть симметрична ни B, ни C (она переходит в вершину, отличную от B и C, а значит в саму себя), и поэтому A лежит на p.
При симметрии относительно p стороны AB и AC переходят друг в друга, а симметричные отрезки равны: AB = AC. Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
Так как B и C симметричны относительно p, прямая p — серединный перпендикуляр к BC. Итак, осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.
1. Что такое геометрическое место точек?
Приведите примеры.
Геометрическое место точек (ГМТ) — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих некоторым свойством (и только из них).
Примеры: окружность — ГМТ, равноудалённых от данной точки (центра); серединный перпендикуляр к отрезку — ГМТ, равноудалённых от концов отрезка; биссектриса неразвёрнутого угла — ГМТ точек внутри угла, равноудалённых от его сторон; прямая, параллельная двум данным параллельным прямым и проходящая посередине между ними — ГМТ, равноудалённых от них.
Примеры: окружность — ГМТ, равноудалённых от данной точки (центра); серединный перпендикуляр к отрезку — ГМТ, равноудалённых от концов отрезка; биссектриса неразвёрнутого угла — ГМТ точек внутри угла, равноудалённых от его сторон; прямая, параллельная двум данным параллельным прямым и проходящая посередине между ними — ГМТ, равноудалённых от них.
2. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Доказательство. 1. Пусть M — точка биссектрисы угла BAC, MK ⊥ AB, ML ⊥ AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML равны по гипотенузе и острому углу (AM — общая гипотенуза, ∠KAM = ∠LAM, так как AM — биссектриса). Следовательно, MK = ML.
2) Пусть M лежит внутри угла BAC и MK = ML, где MK ⊥ AB, ML ⊥ AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML равны по гипотенузе и катету (AM — общая гипотенуза, MK = ML). Следовательно, ∠KAM = ∠LAM, то есть луч AM — биссектриса угла BAC. Теорема доказана.
Доказательство. 1. Пусть M — точка биссектрисы угла BAC, MK ⊥ AB, ML ⊥ AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML равны по гипотенузе и острому углу (AM — общая гипотенуза, ∠KAM = ∠LAM, так как AM — биссектриса). Следовательно, MK = ML.
2) Пусть M лежит внутри угла BAC и MK = ML, где MK ⊥ AB, ML ⊥ AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML равны по гипотенузе и катету (AM — общая гипотенуза, MK = ML). Следовательно, ∠KAM = ∠LAM, то есть луч AM — биссектриса угла BAC. Теорема доказана.
3. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть AA1 и BB1 — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения (две биссектрисы пересекаются внутри треугольника). Проведём из O перпендикуляры OK, OL, OM к прямым AB, BC, CA.
По теореме о биссектрисе угла точка O, лежащая на биссектрисе угла A, равноудалена от его сторон: OK = OM. Точка O, лежащая на биссектрисе угла B, равноудалена от сторон этого угла: OK = OL. Значит, OM = OL, то есть O равноудалена от сторон угла ACB и лежит внутри этого угла. По обратной части теоремы O лежит на биссектрисе угла C.
Таким образом, все три биссектрисы проходят через точку O.
По теореме о биссектрисе угла точка O, лежащая на биссектрисе угла A, равноудалена от его сторон: OK = OM. Точка O, лежащая на биссектрисе угла B, равноудалена от сторон этого угла: OK = OL. Значит, OM = OL, то есть O равноудалена от сторон угла ACB и лежит внутри этого угла. По обратной части теоремы O лежит на биссектрисе угла C.
Таким образом, все три биссектрисы проходят через точку O.
4. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку?
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная к нему.
5. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Доказательство. Пусть m — серединный перпендикуляр к отрезку AB, O — середина AB.
1) Пусть M лежит на m. Если M = O, то MA = MB, так как O — середина. Если M ≠ O, прямоугольные треугольники OAM и OBM равны по двум катетам (OA = OB, OM общий), поэтому AM = BM.
2) Пусть N равноудалена от A и B. Если N лежит на AB, то N — середина AB, то есть N = O, и N лежит на m. Если N не лежит на AB, то треугольник ANB равнобедренный (AN = BN), отрезок NO — его медиана, а значит, и высота: NO ⊥ AB. Прямая NO перпендикулярна AB и проходит через O, поэтому совпадает с m, то есть N лежит на m. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть m — серединный перпендикуляр к отрезку AB, O — середина AB.
1) Пусть M лежит на m. Если M = O, то MA = MB, так как O — середина. Если M ≠ O, прямоугольные треугольники OAM и OBM равны по двум катетам (OA = OB, OM общий), поэтому AM = BM.
2) Пусть N равноудалена от A и B. Если N лежит на AB, то N — середина AB, то есть N = O, и N лежит на m. Если N не лежит на AB, то треугольник ANB равнобедренный (AN = BN), отрезок NO — его медиана, а значит, и высота: NO ⊥ AB. Прямая NO перпендикулярна AB и проходит через O, поэтому совпадает с m, то есть N лежит на m. Теорема доказана.