Глава V. Вопросы для повторения к главе V — с. 114
27. Как построить ось симметрии двух данных точек?
Ось симметрии точек A и B — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Строим две окружности радиуса AB с центрами A и B; через две точки их пересечения проводим прямую — это искомая ось.
28. Если две прямые симметричны относительно некоторой прямой, может ли только одна из них пересекать ось симметрии?
Ответ объясните.
Нет, не может. Если прямая b пересекает ось a в точке B, то точка B симметрична самой себе и одновременно симметрична некоторой точке прямой b1 (симметричной b); значит, B принадлежит b1, и прямая b1 тоже пересекает ось в точке B. Поэтому либо обе прямые пересекают ось (в одной и той же точке), либо ни одна не пересекает её (тогда они параллельны оси и друг другу).
29. Будут ли равны расстояния между двумя точками А и В и симметричными им точками А1 и В1?
Да, будут равны: AB = A1B1. Пусть F и E — середины отрезков AA1 и BB1, они лежат на оси. Треугольник BFB1 равнобедренный (FB = FB1, так как F лежит на серединном перпендикуляре к BB1), FE — его высота и биссектриса, поэтому ∠BFE = ∠B1FE. Кроме того, ∠AFE = ∠A1FE = 90°. Углы AFB и A1FB1 получаются из равных углов сложением или вычитанием (в зависимости от расположения точек), поэтому ∠AFB = ∠A1FB1. Треугольники AFB и A1FB1 равны по двум сторонам и углу между ними (AF = A1F, BF = B1F), значит, AB = A1B1. Остальные расположения точек разбираются так же.
30. Как построить точку, симметричную точке М относительно прямой b: а) с помощью циркуля и линейки; б) с помощью одного циркуля?
а) Из точки M проводим перпендикуляр к b (строим его циркулем и линейкой), H — его основание. На продолжении за H откладываем HM1 = MH. Точка M1 симметрична M.
б) Отмечаем на b две точки P и Q и проводим дуги окружностей с центрами P и Q радиусов PM и QM. Вторая точка их пересечения M1 симметрична M: PM = PM1 и QM = QM1, поэтому прямая PQ (то есть b) — серединный перпендикуляр к MM1.
б) Отмечаем на b две точки P и Q и проводим дуги окружностей с центрами P и Q радиусов PM и QM. Вторая точка их пересечения M1 симметрична M: PM = PM1 и QM = QM1, поэтому прямая PQ (то есть b) — серединный перпендикуляр к MM1.
394. Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Пусть AB — хорда, не являющаяся диаметром, O — центр, a и b — касательные в точках A и B. Предположим, что a ∥ b.
Радиус OA перпендикулярен a, а так как b ∥ a, то OA перпендикулярен и b. Радиус OB тоже перпендикулярен b. Тогда через точку O проходят две прямые OA и OB, перпендикулярные прямой b; такая прямая единственна, поэтому OA и OB совпадают. Значит, точки A, O, B лежат на одной прямой, и AB — диаметр. Это противоречит условию.
Следовательно, касательные не параллельны (и различны, так как касаются в разных точках), то есть пересекаются.
Радиус OA перпендикулярен a, а так как b ∥ a, то OA перпендикулярен и b. Радиус OB тоже перпендикулярен b. Тогда через точку O проходят две прямые OA и OB, перпендикулярные прямой b; такая прямая единственна, поэтому OA и OB совпадают. Значит, точки A, O, B лежат на одной прямой, и AB — диаметр. Это противоречит условию.
Следовательно, касательные не параллельны (и различны, так как касаются в разных точках), то есть пересекаются.
395. Прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: MB = MX (из точки M) и NC = NX (из точки N).
Периметр треугольника AMN: AM + MN + AN = AM + (MX + XN) + AN = AM + MB + NC + AN = (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC. Так как AB = AC (отрезки касательных из точки A), периметр равен 2·AB и не зависит от положения X.
Угол MON. Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр: ∠BOM = ∠MOX и ∠XON = ∠NOC. Луч OX лежит внутри угла BOC (X на дуге BC), поэтому ∠BOX + ∠XOC = ∠BOC. Тогда ∠MON = ∠MOX + ∠XON = (1/2)∠BOX + (1/2)∠XOC = (1/2)∠BOC.
Угол BOC определяется окружностью и точкой A и не зависит от X. Значит, и ∠MON не зависит от выбора X.
Периметр треугольника AMN: AM + MN + AN = AM + (MX + XN) + AN = AM + MB + NC + AN = (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC. Так как AB = AC (отрезки касательных из точки A), периметр равен 2·AB и не зависит от положения X.
Угол MON. Касательные из одной точки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр: ∠BOM = ∠MOX и ∠XON = ∠NOC. Луч OX лежит внутри угла BOC (X на дуге BC), поэтому ∠BOX + ∠XOC = ∠BOC. Тогда ∠MON = ∠MOX + ∠XON = (1/2)∠BOX + (1/2)∠XOC = (1/2)∠BOC.
Угол BOC определяется окружностью и точкой A и не зависит от X. Значит, и ∠MON не зависит от выбора X.
396*. Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром AB.
Пусть окружности касаются общей прямой t в точке M, а прямая AB касается первой окружности в A, второй в B. Прямая AB не параллельна t: иначе A и B были бы концами диаметров, перпендикулярных t, то есть лежали бы на общем перпендикуляре к t в точке M, и AB совпала бы с этим перпендикуляром, что невозможно. Пусть K — точка пересечения t и AB.
Отрезки касательных из точки K к первой окружности равны: KA = KM; ко второй: KM = KB. Значит, KA = KM = KB. Точка K лежит на прямой AB и равноудалена от A и B, поэтому K — середина AB.
Тогда MK — медиана треугольника AMB, равная половине стороны AB. Следовательно, ∠AMB = 90° (если медиана равна половине стороны, угол при противолежащей вершине прямой), то есть отрезок AB виден из точки M под прямым углом, и M лежит на окружности с диаметром AB.
Отрезки касательных из точки K к первой окружности равны: KA = KM; ко второй: KM = KB. Значит, KA = KM = KB. Точка K лежит на прямой AB и равноудалена от A и B, поэтому K — середина AB.
Тогда MK — медиана треугольника AMB, равная половине стороны AB. Следовательно, ∠AMB = 90° (если медиана равна половине стороны, угол при противолежащей вершине прямой), то есть отрезок AB виден из точки M под прямым углом, и M лежит на окружности с диаметром AB.
397. Отрезок AB является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
Так как AB — диаметр, а C и D лежат на окружности, ∠ACB = 90° (диаметр виден из точки окружности под прямым углом). Значит, AC ⊥ BC.
Поскольку AD ∥ BC, получаем AC ⊥ AD, то есть ∠CAD = 90°.
Треугольник ACD прямоугольный, и центр описанной около него окружности — середина гипотенузы CD. Окружность, описанная около ACD, — это данная окружность (A, C, D лежат на ней; описанная окружность единственна). Значит, её центр O — середина CD, то есть хорда CD проходит через центр и является диаметром.
Поскольку AD ∥ BC, получаем AC ⊥ AD, то есть ∠CAD = 90°.
Треугольник ACD прямоугольный, и центр описанной около него окружности — середина гипотенузы CD. Окружность, описанная около ACD, — это данная окружность (A, C, D лежат на ней; описанная окружность единственна). Значит, её центр O — середина CD, то есть хорда CD проходит через центр и является диаметром.
398. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне?
Ответ обоснуйте.
Нет, не может. Если вершина C лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB, то CA = CB (каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка), и треугольник равнобедренный. Если вершина лежит на серединном перпендикуляре к стороне, не содержащей этой вершины, получаем равенство двух сторон; если же вершина — конец стороны, она не может лежать на её серединном перпендикуляре (расстояния до концов 0 и AB различны). У разностороннего треугольника равных сторон нет.
Ответ: нет.
Ответ: нет.
399. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Пусть в треугольнике ABC центр O описанной окружности лежит на медиане AM (M — середина BC).
Точка O равноудалена от B и C, поэтому лежит на серединном перпендикуляре m к BC, который проходит через M.
1) Если O ≠ M, то прямая AM содержит две различные точки O и M серединного перпендикуляра m, значит, совпадает с m. Тогда A лежит на m, и AB = AC: треугольник равнобедренный.
2) Если O = M, то центр описанной окружности — середина BC, то есть BC — диаметр. Тогда ∠BAC = 90° (диаметр виден из точки окружности под прямым углом): треугольник прямоугольный.
Итак, треугольник равнобедренный либо прямоугольный.
Точка O равноудалена от B и C, поэтому лежит на серединном перпендикуляре m к BC, который проходит через M.
1) Если O ≠ M, то прямая AM содержит две различные точки O и M серединного перпендикуляра m, значит, совпадает с m. Тогда A лежит на m, и AB = AC: треугольник равнобедренный.
2) Если O = M, то центр описанной окружности — середина BC, то есть BC — диаметр. Тогда ∠BAC = 90° (диаметр виден из точки окружности под прямым углом): треугольник прямоугольный.
Итак, треугольник равнобедренный либо прямоугольный.
400. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О1, и около него описана окружность с центром О2. Докажите, что точки О1 и О2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Пусть AB = AC, BC — основание, D — середина BC. В равнобедренном треугольнике биссектриса AD является медианой и высотой, поэтому прямая AD — серединный перпендикуляр к BC.
Центр O1 вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A, то есть на прямой AD.
Центр O2 описанной окружности равноудалён от B и C, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к BC — на прямой AD.
Значит, O1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию.
Центр O1 вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A, то есть на прямой AD.
Центр O2 описанной окружности равноудалён от B и C, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к BC — на прямой AD.
Значит, O1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию.
401. Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
Анализ. Центр O искомой окружности лежит на перпендикуляре n к прямой a в точке A (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) и равноудалён от A и B (OA = OB = радиус), то есть лежит на серединном перпендикуляре к AB.
Построение.
1) Строим перпендикуляр n к прямой a в точке A.
2) Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AB.
3) O — точка пересечения n и m.
4) Строим окружность с центром O радиуса OA.
Доказательство. OA = OB, так как O лежит на m, значит, окружность проходит через B. Прямая a проходит через конец радиуса OA, лежащий на окружности, и перпендикулярна ему, поэтому касается окружности в точке A.
Исследование. Прямые n и m пересекаются, так как они параллельны только если AB ∥ a, то есть если B лежит на a (по условию не так). Решение единственное.
Построение.
1) Строим перпендикуляр n к прямой a в точке A.
2) Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AB.
3) O — точка пересечения n и m.
4) Строим окружность с центром O радиуса OA.
Доказательство. OA = OB, так как O лежит на m, значит, окружность проходит через B. Прямая a проходит через конец радиуса OA, лежащий на окружности, и перпендикулярна ему, поэтому касается окружности в точке A.
Исследование. Прямые n и m пересекаются, так как они параллельны только если AB ∥ a, то есть если B лежит на a (по условию не так). Решение единственное.
402. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Пусть a ∥ b, расстояние между ними d, P — данная точка.
Анализ. Окружность, касающаяся a и b, имеет радиус d/2 (диаметр равен расстоянию между параллельными касательными), а её центр равноудалён от a и b, то есть лежит на прямой m, параллельной a и b и расположенной посередине между ними. Кроме того, OP = d/2.
Построение.
1) Строим общий перпендикуляр XY к a и b (X на a, Y на b), его середину и через неё прямую m ∥ a. Радиус r = d/2 равен половине отрезка XY.
2) Строим окружность с центром P радиуса r. Точки её пересечения с m — O1 и O2.
3) Строим окружности с центрами O1, O2 радиуса r.
Доказательство. Расстояние от O1 до a и b равно r, поэтому окружность касается обеих прямых (по признаку касательной: расстояние от центра до прямой равно радиусу). Так как O1P = r, окружность проходит через P.
Исследование. Если P лежит строго между a и b (в том числе на m), то расстояние от P до m меньше r, окружность (P, r) пересекает m в двух точках, и задача имеет два решения. Если P лежит вне полосы между прямыми, расстояние от P до m больше r, и решений нет.
Анализ. Окружность, касающаяся a и b, имеет радиус d/2 (диаметр равен расстоянию между параллельными касательными), а её центр равноудалён от a и b, то есть лежит на прямой m, параллельной a и b и расположенной посередине между ними. Кроме того, OP = d/2.
Построение.
1) Строим общий перпендикуляр XY к a и b (X на a, Y на b), его середину и через неё прямую m ∥ a. Радиус r = d/2 равен половине отрезка XY.
2) Строим окружность с центром P радиуса r. Точки её пересечения с m — O1 и O2.
3) Строим окружности с центрами O1, O2 радиуса r.
Доказательство. Расстояние от O1 до a и b равно r, поэтому окружность касается обеих прямых (по признаку касательной: расстояние от центра до прямой равно радиусу). Так как O1P = r, окружность проходит через P.
Исследование. Если P лежит строго между a и b (в том числе на m), то расстояние от P до m меньше r, окружность (P, r) пересекает m в двух точках, и задача имеет два решения. Если P лежит вне полосы между прямыми, расстояние от P до m больше r, и решений нет.