Глава V. Дополнительные задачи — с. 115
403. Докажите, что прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой a, параллельны.
Пусть m ∥ n, а m1 и n1 — прямые, симметричные им относительно прямой a. Допустим, что m1 и n1 имеют общую точку X. Симметричная ей относительно a точка X1 принадлежит и прямой m, и прямой n (симметрия переводит m1 в m и n1 в n и является взаимно однозначной). Но параллельные прямые m и n общих точек не имеют. Противоречие.
Значит, m1 и n1 не пересекаются, то есть m1 ∥ n1.
Значит, m1 и n1 не пересекаются, то есть m1 ∥ n1.
404. Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой a, перпендикулярны.
Пусть m ⊥ n и пересекаются в точке O; m1 и n1 — симметричные им прямые, O1 — точка, симметричная O. Возьмём на m точку P ≠ O, на n точку Q ≠ O и их образы P1, Q1; прямые m1 и n1 проходят через O1 и содержат P1 и Q1.
Расстояния при симметрии сохраняются: O1P1 = OP, O1Q1 = OQ, P1Q1 = PQ. Поэтому треугольники OPQ и O1P1Q1 равны по трём сторонам, и ∠P1O1Q1 = ∠POQ = 90°.
Значит, m1 ⊥ n1.
Расстояния при симметрии сохраняются: O1P1 = OP, O1Q1 = OQ, P1Q1 = PQ. Поэтому треугольники OPQ и O1P1Q1 равны по трём сторонам, и ∠P1O1Q1 = ∠POQ = 90°.
Значит, m1 ⊥ n1.
405. Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.
Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC (AB = AC), проведённая к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому прямая AD проходит через середину BC и перпендикулярна BC, то есть является серединным перпендикуляром к BC. Следовательно, точки B и C симметричны относительно прямой AD, а точка A лежит на этой прямой и симметрична сама себе.
Отрезок AB переходит в отрезок AC, отрезок AC — в AB, отрезок BC — в себя. Значит, образ каждой точки треугольника лежит на его стороне, то есть треугольник симметричен самому себе относительно прямой AD: она — его ось симметрии.
Отрезок AB переходит в отрезок AC, отрезок AC — в AB, отрезок BC — в себя. Значит, образ каждой точки треугольника лежит на его стороне, то есть треугольник симметричен самому себе относительно прямой AD: она — его ось симметрии.
406. Точка А расположена во внутренней области угла CDE. Точка А1 симметрична точке А относительно прямой DE, и точка A2 симметрична точке А относительно прямой DC. Найдите угол CDE, если ∠А1DE = 24°, ∠A2DC = 48°.
Точка A1 симметрична A относительно прямой DE, значит, луч DE — биссектриса угла ADA1, и ∠ADE = ∠A1DE = 24°.
Точка A2 симметрична A относительно прямой DC, значит, ∠ADC = ∠A2DC = 48°.
Точка A лежит во внутренней области угла CDE, поэтому луч DA лежит внутри угла CDE, и ∠CDE = ∠CDA + ∠ADE = 48° + 24° = 72°.
Ответ: 72°.
Точка A2 симметрична A относительно прямой DC, значит, ∠ADC = ∠A2DC = 48°.
Точка A лежит во внутренней области угла CDE, поэтому луч DA лежит внутри угла CDE, и ∠CDE = ∠CDA + ∠ADE = 48° + 24° = 72°.
Ответ: 72°.
407. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Пусть l — прямая, проходящая через центр O, и X — произвольная точка окружности радиуса r, X1 — точка, симметричная X относительно l. Если X лежит на l, то X1 = X лежит на окружности. Иначе l — серединный перпендикуляр к XX1, а точка O лежит на l и потому равноудалена от X и X1: OX1 = OX = r. Значит, X1 лежит на окружности.
Итак, для каждой точки окружности симметричная ей точка также принадлежит окружности, то есть прямая l — ось симметрии.
Итак, для каждой точки окружности симметричная ей точка также принадлежит окружности, то есть прямая l — ось симметрии.
408. Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
Пусть хорды AB и CD равны и пересекаются в точке P, лежащей на диаметре, содержащем прямую l = OP (O — центр). Будем считать, что P ≠ O.
Равные хорды равноудалены от центра: OH = OK, где OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (задача 341). Прямоугольные треугольники OHP и OKP равны по гипотенузе OP и катету (OH = OK), поэтому ∠OPH = ∠OPK. Точки H и K лежат по разные стороны от прямой OP (иначе лучи PH и PK совпали бы и хорды лежали бы на одной прямой). Значит, лучи PH и PK симметричны относительно l, и прямые AB и CD симметричны относительно l.
Окружность симметрична себе относительно l (задача 407), поэтому образ хорды AB — хорда с концами на окружности, лежащая на прямой CD; она совпадает с CD (прямая CD имеет с окружностью только две общие точки C и D).
Итак, хорды симметричны относительно прямой, содержащей диаметр.
Оговорка: если P совпадает с центром O, обе хорды — диаметры, и утверждение верно лишь для диаметра, делящего угол между ними пополам; считаем P ≠ O.
Равные хорды равноудалены от центра: OH = OK, где OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (задача 341). Прямоугольные треугольники OHP и OKP равны по гипотенузе OP и катету (OH = OK), поэтому ∠OPH = ∠OPK. Точки H и K лежат по разные стороны от прямой OP (иначе лучи PH и PK совпали бы и хорды лежали бы на одной прямой). Значит, лучи PH и PK симметричны относительно l, и прямые AB и CD симметричны относительно l.
Окружность симметрична себе относительно l (задача 407), поэтому образ хорды AB — хорда с концами на окружности, лежащая на прямой CD; она совпадает с CD (прямая CD имеет с окружностью только две общие точки C и D).
Итак, хорды симметричны относительно прямой, содержащей диаметр.
Оговорка: если P совпадает с центром O, обе хорды — диаметры, и утверждение верно лишь для диаметра, делящего угол между ними пополам; считаем P ≠ O.
409. Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.
Пусть треугольник ABC имеет две оси симметрии p1 и p2. По задаче 393 треугольник равнобедренный, и каждая ось — серединный перпендикуляр к основанию соответствующего равнобедренного треугольника, проходящий через противоположную вершину.
Пусть p1 — серединный перпендикуляр к BC (проходящий через A): AB = AC. Ось p2 отлична от p1, поэтому она — серединный перпендикуляр к стороне AB или AC. Пусть к AB, тогда она проходит через C, и CA = CB. Из AB = AC и CA = CB получаем AB = BC = CA: треугольник равносторонний.
Тогда серединные перпендикуляры ко всем трём сторонам проходят через противоположные вершины и по задаче 405 являются осями симметрии. Значит, у треугольника есть и третья ось симметрии.
(Если p2 — серединный перпендикуляр к AC, рассуждение такое же, вершина B даёт BA = BC.)
Пусть p1 — серединный перпендикуляр к BC (проходящий через A): AB = AC. Ось p2 отлична от p1, поэтому она — серединный перпендикуляр к стороне AB или AC. Пусть к AB, тогда она проходит через C, и CA = CB. Из AB = AC и CA = CB получаем AB = BC = CA: треугольник равносторонний.
Тогда серединные перпендикуляры ко всем трём сторонам проходят через противоположные вершины и по задаче 405 являются осями симметрии. Значит, у треугольника есть и третья ось симметрии.
(Если p2 — серединный перпендикуляр к AC, рассуждение такое же, вершина B даёт BA = BC.)
410. Даны три прямые a, b, p. а) Постройте прямую b1, симметричную прямой b относительно прямой p. б) Пользуясь прямой b1, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответственно на прямых a и b и чтобы прямая p была осью симметрии отрезка.
а) Построение прямой b1.
1) Строим точки, симметричные двум точкам прямой b относительно p (из точки опускаем перпендикуляр на p и откладываем за p равный отрезок). Если b пересекает p, одной из таких точек можно взять точку пересечения b и p (она симметрична себе).
2) Проводим через образы прямую b1 — она симметрична b.
б) Построение отрезка.
1) Находим точку X пересечения b1 и a.
2) Строим точку Y, симметричную X относительно p.
3) XY — искомый отрезок.
Доказательство. X лежит на a; Y симметрична точке X прямой b1, поэтому лежит на прямой b (симметричной b1). Прямая p — серединный перпендикуляр к XY, то есть ось симметрии отрезка XY.
Исследование. Если b1 пересекает a в одной точке — одно решение; если b1 ∥ a — нет решений; если b1 совпадает с a — бесконечно много.
1) Строим точки, симметричные двум точкам прямой b относительно p (из точки опускаем перпендикуляр на p и откладываем за p равный отрезок). Если b пересекает p, одной из таких точек можно взять точку пересечения b и p (она симметрична себе).
2) Проводим через образы прямую b1 — она симметрична b.
б) Построение отрезка.
1) Находим точку X пересечения b1 и a.
2) Строим точку Y, симметричную X относительно p.
3) XY — искомый отрезок.
Доказательство. X лежит на a; Y симметрична точке X прямой b1, поэтому лежит на прямой b (симметричной b1). Прямая p — серединный перпендикуляр к XY, то есть ось симметрии отрезка XY.
Исследование. Если b1 пересекает a в одной точке — одно решение; если b1 ∥ a — нет решений; если b1 совпадает с a — бесконечно много.
411. Даны прямые a, b и окружность с центром О. а) Постройте прямую a1, симметричную прямой а относительно прямой b. б) Используя прямую a1, постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой а и данной окружности.
а) Строим прямую a1, симметричную a относительно b: образы двух точек прямой a (опускаем перпендикуляр на b и откладываем равный отрезок), через них проводим прямую.
б) Находим точки пересечения прямой a1 с данной окружностью; пусть Y — одна из них. Строим точку X, симметричную Y относительно b. Так как Y лежит на a1, точка X лежит на a (a1 — образ a). Отрезок XY имеет концы на a и на окружности, а прямая b — его серединный перпендикуляр (X и Y симметричны относительно b).
Исследование. Число решений равно числу общих точек a1 и окружности: два, одно или ни одного.
б) Находим точки пересечения прямой a1 с данной окружностью; пусть Y — одна из них. Строим точку X, симметричную Y относительно b. Так как Y лежит на a1, точка X лежит на a (a1 — образ a). Отрезок XY имеет концы на a и на окружности, а прямая b — его серединный перпендикуляр (X и Y симметричны относительно b).
Исследование. Число решений равно числу общих точек a1 и окружности: два, одно или ни одного.
412. Постройте оси симметрии двух пересекающихся прямых.
Пусть данные прямые a и b пересекаются в точке O. Ось симметрии этой фигуры должна переводить пару прямых в себя, значит, проходить через O и либо менять прямые местами (тогда она содержит биссектрису угла между ними), либо оставлять каждую на месте (тогда она совпадает с одной из прямых или перпендикулярна ей, что возможно лишь при a ⊥ b).
Построение.
1) Строим окружность с центром O произвольного радиуса; она пересекает a в точках P и P1, b — в точках Q и Q1.
2) Строим серединный перпендикуляр к PQ и серединный перпендикуляр к PQ1. Оба проходят через O (так как OP = OQ = OQ1, O равноудалена от концов хорд).
Это две оси симметрии — биссектрисы смежных углов, образованных прямыми; они перпендикулярны.
Доказательство. Треугольник POQ равнобедренный (OP = OQ), серединный перпендикуляр к основанию PQ — его ось симметрии и биссектриса угла POQ, при симметрии относительно него a и b меняются местами. То же верно для угла POQ1.
Замечание: если a ⊥ b, осями являются ещё и сами прямые a и b.
Построение.
1) Строим окружность с центром O произвольного радиуса; она пересекает a в точках P и P1, b — в точках Q и Q1.
2) Строим серединный перпендикуляр к PQ и серединный перпендикуляр к PQ1. Оба проходят через O (так как OP = OQ = OQ1, O равноудалена от концов хорд).
Это две оси симметрии — биссектрисы смежных углов, образованных прямыми; они перпендикулярны.
Доказательство. Треугольник POQ равнобедренный (OP = OQ), серединный перпендикуляр к основанию PQ — его ось симметрии и биссектриса угла POQ, при симметрии относительно него a и b меняются местами. То же верно для угла POQ1.
Замечание: если a ⊥ b, осями являются ещё и сами прямые a и b.
413. Пусть а — число, выражающее длину отрезка AB при единице измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения AB. Как связаны между собой числа a и b?
Длина AB при единице измерения CD равна a, это значит AB = a·CD. Длина CD при единице измерения AB равна b, то есть CD = b·AB.
Подставляя: AB = a·(b·AB) = ab·AB, откуда ab = 1 (AB ≠ 0).
Ответ: ab = 1, числа a и b взаимно обратны.
Подставляя: AB = a·(b·AB) = ab·AB, откуда ab = 1 (AB ≠ 0).
Ответ: ab = 1, числа a и b взаимно обратны.
414. Длина отрезка AB при единице измерения Е1F1 выражается числом m, а при единице измерения E2F2 — числом n. Каким числом выражается длина отрезка Е1F1 при единице измерения E2F2?
По условию AB = m·E1F1 и AB = n·E2F2. Приравниваем: m·E1F1 = n·E2F2, откуда E1F1 = (n/m)·E2F2.
Значит, длина E1F1 при единице измерения E2F2 выражается числом n/m.
Ответ: n/m.
Значит, длина E1F1 при единице измерения E2F2 выражается числом n/m.
Ответ: n/m.