Глава 2. Взаимодействие тел. § 17. Расчёт пути и времени движения — с. 60
Упражнение 8. Задача 8*. Представьте ответ на последний вопрос предыдущей задачи в виде формулы (решите задачу в общем виде).
Дано: путь S, первую половину S/2 тело проходит со скоростью v₁, вторую половину S/2 — со скоростью v₂.
Найти: постоянную скорость v, с которой надо пройти весь путь за то же время.
Решение: время на первой половине t₁ = (S/2) / v₁ = S / (2v₁); на второй t₂ = S / (2v₂).
Всё время t = t₁ + t₂ = S/(2v₁) + S/(2v₂) = S·(v₁ + v₂) / (2v₁v₂).
Искомая скорость v = S / t = S · 2v₁v₂ / (S·(v₁ + v₂)), величина S сокращается:
v = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂).
Проверка: v = 2·90·10 / (90 + 10) = 1800 / 100 = 18 км/ч, что совпадает с задачей 7*.
Ответ: v = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) (средняя скорость; она не равна среднему арифметическому скоростей).
Найти: постоянную скорость v, с которой надо пройти весь путь за то же время.
Решение: время на первой половине t₁ = (S/2) / v₁ = S / (2v₁); на второй t₂ = S / (2v₂).
Всё время t = t₁ + t₂ = S/(2v₁) + S/(2v₂) = S·(v₁ + v₂) / (2v₁v₂).
Искомая скорость v = S / t = S · 2v₁v₂ / (S·(v₁ + v₂)), величина S сокращается:
v = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂).
Проверка: v = 2·90·10 / (90 + 10) = 1800 / 100 = 18 км/ч, что совпадает с задачей 7*.
Ответ: v = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) (средняя скорость; она не равна среднему арифметическому скоростей).
Задание 15. Сравните время поездки от Москвы до Санкт-Петербурга на перекладных, на первом поезде Николаевской железной дороги и на «Сапсане». Необходимую информацию найдите в Интернете.
Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по железной дороге около 650 км (по Николаевской дороге около 645 км). Время считаем по формуле t = s / v_ср, где v_ср — средняя скорость с учётом остановок.
1) На перекладных (лошади на почтовых станциях, XVIII — первая половина XIX в.). Средняя скорость вместе со сменой лошадей и ночлегами около 8–10 км/ч в движении, поэтому в пути требовалось примерно 3–4 суток (при быстрой езде на почтовых около 2–3 суток). Для оценки: 650 км / 10 км/ч = 65 ч ≈ 2,7 суток.
2) Первый поезд Николаевской железной дороги (открыта в 1851 г.). Поезд шёл с паровозом со средней скоростью около 30 км/ч и с многочисленными остановками, весь путь занимал около 21 ч (позже сократился до 12–13 ч). Расчёт: 650 км / 30 км/ч ≈ 22 ч.
3) «Сапсан» (скоростной электропоезд). Время в пути около 3 ч 45 мин (≈ 3,75 ч). Средняя скорость 650 км / 3,75 ч ≈ 175 км/ч, максимальная до 250 км/ч.
Сравнение: от перекладных до «Сапсана» время в пути сократилось примерно с 65 ч до 3,75 ч, то есть в 17 раз, а по сравнению с первым поездом — примерно в 5–6 раз. Вывод: рост скорости транспорта резко сокращает время поездки при том же пути.
Оговорка: данные из разных источников немного отличаются (расписание, год, тип поезда), поэтому значения приблизительные.
Оговорка: данные из разных источников немного отличаются (расписание, год, тип поезда), поэтому значения приблизительные.