Глава 2. Взаимодействие тел. § 17. Расчёт пути и времени движения — с. 59
§ 17. Дополнительный вопрос. Решая задачу на движение, Иван воспользовался тем, что пройденный путь прямо пропорционален времени, а Гоша, решая другую задачу, — тем, что путь прямо пропорционален скорости. Предложите условия задач, которые могли решать ребята.
При равномерном движении s = v·t. Если скорость постоянна, путь пропорционален времени — это случай Ивана. Если одинаков промежуток времени, путь пропорционален скорости — это случай Гоши.
Задача Ивана (скорость одна и та же, время разное). Турист идёт с постоянной скоростью 4 км/ч. За 1 ч он проходит 4 км. Какой путь он пройдёт за 3 ч? Так как путь прямо пропорционален времени, за время, большее в 3 раза, путь будет больше в 3 раза: s = 4 км/ч · 3 ч = 12 км.
Задача Гоши (время одно и то же, скорость разная). Пешеход и велосипедист выезжают одновременно и движутся 2 ч. Скорость пешехода 5 км/ч, а скорость велосипедиста в 3 раза больше. Во сколько раз дальше уедет велосипедист и каков его путь? За одно и то же время путь пропорционален скорости, значит, он проедет путь в 3 раза больший: s₁ = 5 км/ч · 2 ч = 10 км, s₂ = 15 км/ч · 2 ч = 30 км.
Упражнение 8. Задача 1. Какой путь проползёт улитка по стволу дерева за 5 мин, если её скорость 1,4 мм/с?
Дано: t = 5 мин = 300 с; v = 1,4 мм/с = 0,0014 м/с.
Найти: s.
Решение: движение равномерное, s = v·t.
s = 1,4 мм/с · 300 с = 420 мм = 0,42 м = 42 см.
Ответ: s = 42 см.
Найти: s.
Решение: движение равномерное, s = v·t.
s = 1,4 мм/с · 300 с = 420 мм = 0,42 м = 42 см.
Ответ: s = 42 см.
Упражнение 8. Задача 2. Средняя скорость роста дуба 0,3 м в год. Сколько лет дереву высотой 6 м?
Дано: v = 0,3 м/год; h = 6 м.
Найти: t.
Решение: считаем, что дерево росло с постоянной средней скоростью, поэтому h = v·t, откуда t = h / v.
t = 6 м / (0,3 м/год) = 20 лет.
Ответ: дереву 20 лет.
Найти: t.
Решение: считаем, что дерево росло с постоянной средней скоростью, поэтому h = v·t, откуда t = h / v.
t = 6 м / (0,3 м/год) = 20 лет.
Ответ: дереву 20 лет.
Упражнение 8. Задача 3. Постройте графики зависимости пути от времени для тел, одно из которых движется с постоянной скоростью v₁ = 7 м/с, а второе — со скоростью v₂ = 3 м/с.
Дано: v₁ = 7 м/с; v₂ = 3 м/с (движение равномерное).
Найти: графики s₁(t) и s₂(t).
Решение: при равномерном движении s = v·t, график — прямая, выходящая из начала координат. Для построения достаточно двух точек. Составим таблицу.
t, с: 0; 2; 5.
s₁ = 7 м/с · t: 0; 14 м; 35 м.
s₂ = 3 м/с · t: 0; 6 м; 15 м.
Отложим по горизонтальной оси время (1 клетка = 1 с), по вертикальной — путь (1 клетка = 5 м), отметим точки и проведём через каждую пару точек прямую из начала координат. График первого тела (v₁ = 7 м/с) идёт круче, потому что его скорость больше: чем больше скорость, тем больший угол наклона прямой к оси времени.
Ответ: два луча из начала координат, проходящие через точки (2 с; 14 м), (5 с; 35 м) и (2 с; 6 м), (5 с; 15 м).
Найти: графики s₁(t) и s₂(t).
Решение: при равномерном движении s = v·t, график — прямая, выходящая из начала координат. Для построения достаточно двух точек. Составим таблицу.
t, с: 0; 2; 5.
s₁ = 7 м/с · t: 0; 14 м; 35 м.
s₂ = 3 м/с · t: 0; 6 м; 15 м.
Отложим по горизонтальной оси время (1 клетка = 1 с), по вертикальной — путь (1 клетка = 5 м), отметим точки и проведём через каждую пару точек прямую из начала координат. График первого тела (v₁ = 7 м/с) идёт круче, потому что его скорость больше: чем больше скорость, тем больший угол наклона прямой к оси времени.
Ответ: два луча из начала координат, проходящие через точки (2 с; 14 м), (5 с; 35 м) и (2 с; 6 м), (5 с; 15 м).
Упражнение 8. Задача 4. На рисунке 42 приведён график зависимости пройденного пути от времени для равномерно движущегося тела. По этому графику найдите путь, пройденный телом за 2 ч. Рассчитайте скорость тела. [на рисунке: ось s в км с делениями 125, 250, 375, 500, 625; ось t в ч с делениями 1–6; прямая из начала координат, к t = 6 ч доходит до s = 750 км.]
Дано: график s(t) (рис. 42): прямая через начало координат; при t = 6 ч s = 750 км.
Найти: s при t = 2 ч; v.
Решение: на оси времени находим t = 2 ч, поднимаемся до графика и по уровню точки на оси пути читаем s = 250 км (точка (2 ч; 250 км)). Скорость равна отношению пути ко времени: v = s / t = 250 км / 2 ч = 125 км/ч. Проверка по другой точке: 750 км / 6 ч = 125 км/ч (то же значение, потому что движение равномерное), или 125 км за каждый час.
Ответ: за 2 ч тело прошло 250 км; скорость 125 км/ч.
Найти: s при t = 2 ч; v.
Решение: на оси времени находим t = 2 ч, поднимаемся до графика и по уровню точки на оси пути читаем s = 250 км (точка (2 ч; 250 км)). Скорость равна отношению пути ко времени: v = s / t = 250 км / 2 ч = 125 км/ч. Проверка по другой точке: 750 км / 6 ч = 125 км/ч (то же значение, потому что движение равномерное), или 125 км за каждый час.
Ответ: за 2 ч тело прошло 250 км; скорость 125 км/ч.
Упражнение 8. Задача 5. По графику зависимости скорости равномерно движущегося тела от времени (рис. 43) определите скорость тела и путь, который оно пройдёт за 3 с; 7 с. [на рисунке: ось v в м/с с делениями 3, 6, 9, 12; ось t в с, 1–6; горизонтальная прямая на уровне v = 9 м/с.]
Дано: график v(t) (рис. 43) — горизонтальная прямая на уровне 9 м/с; t₁ = 3 с; t₂ = 7 с.
Найти: v; s₁; s₂.
Решение: график скорости — горизонтальная прямая, значит, скорость постоянна и в любой момент равна v = 9 м/с (тело движется равномерно). Путь при равномерном движении s = v·t.
s₁ = 9 м/с · 3 с = 27 м.
s₂ = 9 м/с · 7 с = 63 м.
(Путь численно равен площади прямоугольника под графиком: 9 · 3 = 27 и 9 · 7 = 63.)
Ответ: v = 9 м/с; за 3 с тело пройдёт 27 м, за 7 с — 63 м.
Найти: v; s₁; s₂.
Решение: график скорости — горизонтальная прямая, значит, скорость постоянна и в любой момент равна v = 9 м/с (тело движется равномерно). Путь при равномерном движении s = v·t.
s₁ = 9 м/с · 3 с = 27 м.
s₂ = 9 м/с · 7 с = 63 м.
(Путь численно равен площади прямоугольника под графиком: 9 · 3 = 27 и 9 · 7 = 63.)
Ответ: v = 9 м/с; за 3 с тело пройдёт 27 м, за 7 с — 63 м.
Упражнение 8. Задача 6. По графикам зависимости пути от времени (рис. 44) двух тел, движущихся равномерно, определите, скорость какого тела больше. Проверьте себя, рассчитав скорости этих тел. [на рисунке: ось s в м с делениями 5–25; ось t в с, 1–6; две прямые из начала координат: I доходит до точки (5 с; 25 м), II — до точки (6 с; 12 м).]
Дано: графики s(t) (рис. 44): тело I — точка (5 с; 25 м); тело II — точка (6 с; 12 м); оба графика — прямые из начала координат.
Найти: скорость какого тела больше; v_I и v_II.
Решение: за одно и то же время тело I проходит больший путь (например, за 5 с тело I проходит 25 м, а тело II — только 10 м), поэтому график I идёт круче и скорость тела I больше.
Проверка расчётом: v_I = s / t = 25 м / 5 с = 5 м/с; v_II = 12 м / 6 с = 2 м/с.
5 м/с > 2 м/с, вывод верен.
Ответ: скорость тела I больше; v_I = 5 м/с, v_II = 2 м/с.
Найти: скорость какого тела больше; v_I и v_II.
Решение: за одно и то же время тело I проходит больший путь (например, за 5 с тело I проходит 25 м, а тело II — только 10 м), поэтому график I идёт круче и скорость тела I больше.
Проверка расчётом: v_I = s / t = 25 м / 5 с = 5 м/с; v_II = 12 м / 6 с = 2 м/с.
5 м/с > 2 м/с, вывод верен.
Ответ: скорость тела I больше; v_I = 5 м/с, v_II = 2 м/с.
Упражнение 8. Задача 7*. Первую половину пути из Москвы в Подольск автомобиль ехал со скоростью v₁ = 90 км/ч. Оставшийся путь s = 20 км из-за поломки пришлось ехать со скоростью v₂ = 10 км/ч. Сколько времени двигался автомобиль до Подольска?
С какой постоянной скоростью должен двигаться велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за то же время, что и автомобиль?
Дано: v₁ = 90 км/ч; v₂ = 10 км/ч; s₂ = s = 20 км — вторая половина пути.
Найти: t; v_вел.
Решение: так как оставшиеся 20 км составляют вторую половину пути, первая половина тоже равна s₁ = 20 км, а весь путь S = 2s = 40 км.
Время на первой половине: t₁ = s₁ / v₁ = 20 км / 90 км/ч ≈ 0,222 ч.
Время на второй половине: t₂ = s₂ / v₂ = 20 км / 10 км/ч = 2 ч.
Всё время: t = t₁ + t₂ ≈ 0,222 ч + 2 ч ≈ 2,22 ч (около 2 ч 13 мин).
Велосипедист должен проехать S = 40 км за то же время, поэтому v_вел = S / t = 40 км / 2,22 ч ≈ 18 км/ч. Это средняя скорость автомобиля на всём пути.
Ответ: t ≈ 2,22 ч; v_вел ≈ 18 км/ч.
Найти: t; v_вел.
Решение: так как оставшиеся 20 км составляют вторую половину пути, первая половина тоже равна s₁ = 20 км, а весь путь S = 2s = 40 км.
Время на первой половине: t₁ = s₁ / v₁ = 20 км / 90 км/ч ≈ 0,222 ч.
Время на второй половине: t₂ = s₂ / v₂ = 20 км / 10 км/ч = 2 ч.
Всё время: t = t₁ + t₂ ≈ 0,222 ч + 2 ч ≈ 2,22 ч (около 2 ч 13 мин).
Велосипедист должен проехать S = 40 км за то же время, поэтому v_вел = S / t = 40 км / 2,22 ч ≈ 18 км/ч. Это средняя скорость автомобиля на всём пути.
Ответ: t ≈ 2,22 ч; v_вел ≈ 18 км/ч.