Глава 2. Взаимодействие тел. § 18. Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение — с. 63
§ 18. Вопрос 1. Что характеризует ускорение?
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости тела. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость за единицу времени (за 1 с). Чем больше ускорение, тем быстрее меняется скорость: например, при a₁ = 4 м/с² скорость шарика за каждую секунду растёт на 4 м/с, а при a₂ = 3 м/с² — на 3 м/с, то есть медленнее.
§ 18. Вопрос 2. В каких единицах измеряется ускорение?
В СИ ускорение измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с²). Это единица, получаемая из формулы a = (v − v₀) / t: изменение скорости в м/с делят на время в с. Ускорение 1 м/с² означает, что скорость изменяется на 1 м/с за каждую секунду.
§ 18. Вопрос 3. По какой формуле можно определить скорость при прямолинейном равноускоренном движении?
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении в любой момент времени определяется по формуле v = v₀ + at, где v₀ — начальная скорость, a — ускорение, t — время движения. Она получается из определения ускорения a = (v − v₀) / t. Например, при v₀ = 5 м/с и a = 0,5 м/с² через 2 с скорость равна 5 + 0,5 · 2 = 6 м/с.
§ 18. Вопрос 4. В каком случае ускорение тела положительно; отрицательно?
Ускорение a = (v − v₀) / t. Если скорость тела увеличивается, то v − v₀ > 0, и ускорение положительно (оно направлено так же, как скорость): так разгоняется автомобиль или санки на горке. Если скорость уменьшается, то v − v₀ < 0, ускорение отрицательно (направлено противоположно скорости): так тормозят санки на горизонтальном участке, когда за 3 с скорость уменьшается с 6 м/с до нуля и a = −2 м/с².
§ 18. Дополнительный вопрос 1. Докажите, что единицей ускорения в СИ является м/с².
Ускорение определяют формулой a = (v − v₀) / t. Единица скорости в СИ — м/с, единица времени — с. Подставим единицы в формулу: [a] = (м/с) / с = м/(с·с) = м/с². Следовательно, единицей ускорения в СИ служит метр на секунду в квадрате: 1 м/с² — ускорение, при котором скорость изменяется на 1 м/с за 1 с.
§ 18. Дополнительный вопрос 2. Собака бежит по прямой и за каждую секунду пробегает 4 м. Докажите, что данное движение не является равноускоренным.
Если за каждую секунду собака пробегает одинаковый путь 4 м, то её скорость постоянна: v = s / t = 4 м / 1 с = 4 м/с. Скорость не изменяется, значит, v − v₀ = 0 и ускорение a = 0. Такое движение равномерное. При равноускоренном движении скорость за равные промежутки времени изменяется одинаково и не равна нулю, поэтому и пути за последовательные секунды были бы разными (например, при v₀ = 0 и a = 2 м/с² за первые секунды путь 1 м, 3 м, 5 м, …). Значит, движение собаки равноускоренным не является.
§ 18. Дополнительный вопрос 3*. Можно ли сказать, что при равноускоренном движении скорость тела прямо пропорциональна его ускорению?
Нет, нельзя. Скорость определяется формулой v = v₀ + at. Она зависит не только от ускорения, но и от начальной скорости v₀ и времени t. Прямая пропорциональность v = k·a была бы верна, только если v₀ = 0 и время одно и то же; тогда, например, при t = 2 с и a = 4 м/с² скорость 8 м/с, а при a = 3 м/с² — 6 м/с. В общем случае, например при v₀ = 10 м/с, при a = 0 скорость не равна нулю, а значит, пропорциональности нет. Прямо пропорционально ускорению изменение скорости за данное время: v − v₀ = at. Кроме того, ускорение при равноускоренном движении не зависит от скорости: оно постоянно, а скорость растёт со временем.
Упражнение 9. Задача 1. С каким ускорением разгоняется автомобиль, если он за 5 с увеличивает свою скорость от 5 до 20 м/с?
Дано: t = 5 с; v₀ = 5 м/с; v = 20 м/с.
Найти: a.
Решение: a = (v − v₀) / t = (20 м/с − 5 м/с) / 5 с = 15 м/с / 5 с = 3 м/с².
Ответ: a = 3 м/с².
Найти: a.
Решение: a = (v − v₀) / t = (20 м/с − 5 м/с) / 5 с = 15 м/с / 5 с = 3 м/с².
Ответ: a = 3 м/с².
Упражнение 9. Задача 2. Разгоняясь из состояния покоя, велосипедист за 11 с развил скорость 22 м/с. Определите ускорение велосипедиста. Постройте график зависимости ускорения от времени a(t), считая движение равноускоренным.
Дано: v₀ = 0; v = 22 м/с; t = 11 с.
Найти: a; график a(t).
Решение: a = (v − v₀) / t = (22 м/с − 0) / 11 с = 2 м/с².
При равноускоренном движении ускорение постоянно, поэтому в любой момент от 0 до 11 с оно равно 2 м/с². График a(t) — горизонтальная прямая на уровне 2 м/с², параллельная оси времени: отложим по оси t время от 0 до 11 с, по оси a — ускорение, проведём прямую через точки (0; 2) и (11 с; 2 м/с²).
Ответ: a = 2 м/с²; график — горизонтальная прямая a = 2 м/с².
Найти: a; график a(t).
Решение: a = (v − v₀) / t = (22 м/с − 0) / 11 с = 2 м/с².
При равноускоренном движении ускорение постоянно, поэтому в любой момент от 0 до 11 с оно равно 2 м/с². График a(t) — горизонтальная прямая на уровне 2 м/с², параллельная оси времени: отложим по оси t время от 0 до 11 с, по оси a — ускорение, проведём прямую через точки (0; 2) и (11 с; 2 м/с²).
Ответ: a = 2 м/с²; график — горизонтальная прямая a = 2 м/с².
Упражнение 9. Задача 3. Автомобиль начал двигаться от светофора, и через 5 с его скорость стала 10 м/с. С каким ускорением двигался автомобиль, если его движение прямолинейное равноускоренное?
Постройте график зависимости скорости автомобиля от времени v(t).
Дано: v₀ = 0 (начал двигаться от светофора); t = 5 с; v = 10 м/с.
Найти: a; график v(t).
Решение: a = (v − v₀) / t = (10 м/с − 0) / 5 с = 2 м/с².
Скорость меняется по закону v = v₀ + at = 2 м/с² · t. Таблица: t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 с; v = 0, 2, 4, 6, 8, 10 м/с. Откладываем по оси t время, по оси v — скорость, наносим точки и проводим прямую из начала координат до точки (5 с; 10 м/с). График — наклонная прямая, выходящая из начала координат.
Ответ: a = 2 м/с²; график v(t) — прямая через (0; 0) и (5 с; 10 м/с).
Найти: a; график v(t).
Решение: a = (v − v₀) / t = (10 м/с − 0) / 5 с = 2 м/с².
Скорость меняется по закону v = v₀ + at = 2 м/с² · t. Таблица: t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 с; v = 0, 2, 4, 6, 8, 10 м/с. Откладываем по оси t время, по оси v — скорость, наносим точки и проводим прямую из начала координат до точки (5 с; 10 м/с). График — наклонная прямая, выходящая из начала координат.
Ответ: a = 2 м/с²; график v(t) — прямая через (0; 0) и (5 с; 10 м/с).
Упражнение 9. Задача 4. Автомобиль, движущийся прямолинейно со скоростью 10 м/с, начинает разгоняться с ускорением 2 м/с². Какой станет его скорость через 5 с?
Дано: v₀ = 10 м/с; a = 2 м/с²; t = 5 с.
Найти: v.
Решение: v = v₀ + at = 10 м/с + 2 м/с² · 5 с = 10 м/с + 10 м/с = 20 м/с.
Ответ: v = 20 м/с.
Найти: v.
Решение: v = v₀ + at = 10 м/с + 2 м/с² · 5 с = 10 м/с + 10 м/с = 20 м/с.
Ответ: v = 20 м/с.