Задачи для повторения — с. 226
Задача для повторения 37. Датчик движения показал следующий график движения пешехода (рис. 203). Охарактеризуйте движение на каждом участке. Опишите ситуацию, в которой пешеход мог так двигаться. [на рисунке 203: график s(t); оси: t, с — 0, 2, 4, 6; s, м — до 300, отмечено 120; участок I — прямая от (0; 0) до (2 с; 120 м), участок II — горизонтальный отрезок на уровне 120 м от 2 до 4 с, участок III — прямая от (4 с; 120 м) до (6 с; 300 м).]
Данные графика (рис. 203): I — от t = 0 до 2 с путь растёт от 0 до 120 м; II — от 2 до 4 с путь не меняется (120 м); III — от 4 до 6 с путь растёт от 120 м до 300 м.
Участок I: равномерное движение, v₁ = 120 м : 2 с = 60 м/с. Участок II: путь не изменяется — тело покоится (скорость 0). Участок III: равномерное движение, v₃ = (300 − 120) м : (6 − 4) с = 180 м : 2 с = 90 м/с, то есть быстрее, чем на участке I.
Ситуация: пешеход шёл с постоянной скоростью, затем остановился (например, у светофора, чтобы завязать шнурок или дождаться друга), после чего снова пошёл равномерно, но быстрее (или побежал, торопясь успеть).
Оговорка: по масштабу рисунка скорости (60 м/с и 90 м/с) значительно больше реальной скорости пешехода (около 1,5 м/с); следуем числам графика, описывая характер движения (график «в условных значениях»).
Участок I: равномерное движение, v₁ = 120 м : 2 с = 60 м/с. Участок II: путь не изменяется — тело покоится (скорость 0). Участок III: равномерное движение, v₃ = (300 − 120) м : (6 − 4) с = 180 м : 2 с = 90 м/с, то есть быстрее, чем на участке I.
Ситуация: пешеход шёл с постоянной скоростью, затем остановился (например, у светофора, чтобы завязать шнурок или дождаться друга), после чего снова пошёл равномерно, но быстрее (или побежал, торопясь успеть).
Оговорка: по масштабу рисунка скорости (60 м/с и 90 м/с) значительно больше реальной скорости пешехода (около 1,5 м/с); следуем числам графика, описывая характер движения (график «в условных значениях»).
Задача для повторения 38. Постройте графики зависимости пути от времени для двух тел, если тело I движется с постоянной скоростью 7 м/с, а тело II — 3 м/с. Каков путь тела I за 2 с; тела II за 4 с?
Дано: v₁ = 7 м/с; v₂ = 3 м/с; t₁ = 2 с; t₂ = 4 с.
Найти: s₁ (за 2 с); s₂ (за 4 с); построить графики.
Решение: при равномерном движении из начала координат s = vt, график — прямая линия.
Тело I: s₁ = 7t. Точки: (0; 0), (2 с; 14 м), (4 с; 28 м). За 2 с путь s₁ = 7 м/с · 2 с = 14 м.
Тело II: s₂ = 3t. Точки: (0; 0), (2 с; 6 м), (4 с; 12 м). За 4 с путь s₂ = 3 м/с · 4 с = 12 м.
Прямая I идёт круче прямой II, потому что скорость тела I больше.
Ответ: s₁ = 14 м; s₂ = 12 м.
Найти: s₁ (за 2 с); s₂ (за 4 с); построить графики.
Решение: при равномерном движении из начала координат s = vt, график — прямая линия.
Тело I: s₁ = 7t. Точки: (0; 0), (2 с; 14 м), (4 с; 28 м). За 2 с путь s₁ = 7 м/с · 2 с = 14 м.
Тело II: s₂ = 3t. Точки: (0; 0), (2 с; 6 м), (4 с; 12 м). За 4 с путь s₂ = 3 м/с · 4 с = 12 м.
Прямая I идёт круче прямой II, потому что скорость тела I больше.
Ответ: s₁ = 14 м; s₂ = 12 м.
Задача для повторения 39. Уравнение s = vt описывает движение тела.
1. Определите характер движения тела.
2. Определите путь тела за 5 с, если оно движется со скоростью 10 м/с. 3) Постройте график зависимости скорости от времени.
1) Уравнение s = vt означает, что путь прямо пропорционален времени, а скорость v постоянна. Значит, тело движется равномерно и прямолинейно.
2) Дано: v = 10 м/с; t = 5 с. Решение: s = vt = 10 м/с · 5 с = 50 м. Ответ: s = 50 м.
3) График v(t) при равномерном движении — горизонтальная прямая, параллельная оси времени: v = 10 м/с в любой момент от 0 до 5 с. Строим: по оси t — секунды, по оси v — м/с; проводим отрезок на уровне 10 м/с. Площадь прямоугольника под графиком (10 м/с · 5 с = 50 м) равна пройденному пути.
2) Дано: v = 10 м/с; t = 5 с. Решение: s = vt = 10 м/с · 5 с = 50 м. Ответ: s = 50 м.
3) График v(t) при равномерном движении — горизонтальная прямая, параллельная оси времени: v = 10 м/с в любой момент от 0 до 5 с. Строим: по оси t — секунды, по оси v — м/с; проводим отрезок на уровне 10 м/с. Площадь прямоугольника под графиком (10 м/с · 5 с = 50 м) равна пройденному пути.
Задача для повторения 40. Какой путь прошло бы тело за 30 с, если бы его скорость с течением времени изменялась так, как показано на графике (рис. 204)?
Почему скорость реального тела так изменяться не может? [на рисунке 204: график v(t), оси: t, с — 10, 20, 30, 40; v, м/с — 4, 6, 8, 10; горизонтальные отрезки: v = 7 м/с от 0 до 10 с, v = 10 м/с от 10 до 30 с, v = 5 м/с от 30 до 40 с.]
Данные графика (рис. 204): 0–10 с: v = 7 м/с; 10–30 с: v = 10 м/с; 30–40 с: v = 5 м/с.
Решение: на каждом участке движение равномерное, путь s = vt, весь путь — сумма путей по участкам.
За первые 10 с: s₁ = 7 м/с · 10 с = 70 м. За следующие 20 с (от 10 до 30 с): s₂ = 10 м/с · 20 с = 200 м. Путь за 30 с: s = s₁ + s₂ = 70 + 200 = 270 м.
Для всех 40 с добавляется s₃ = 5 м/с · 10 с = 50 м, и общий путь равен 320 м (это значение приведено в ответе книги; видимо, в нём учтены все 40 с графика).
Почему так не бывает: на графике скорость изменяется скачком (с 7 до 10 м/с и с 10 до 5 м/с) мгновенно. Для изменения скорости требуется время: тело взаимодействует с другими телами, и скорость меняется постепенно (тело обладает инертностью). Поэтому реальный график скорости — плавные линии без скачков.
Ответ: за 30 с — 270 м; за 40 с — 320 м.
Оговорка: в книжном ответе указано 320 м, это путь за всё время графика (40 с); за 30 с по графику получается 270 м.
Решение: на каждом участке движение равномерное, путь s = vt, весь путь — сумма путей по участкам.
За первые 10 с: s₁ = 7 м/с · 10 с = 70 м. За следующие 20 с (от 10 до 30 с): s₂ = 10 м/с · 20 с = 200 м. Путь за 30 с: s = s₁ + s₂ = 70 + 200 = 270 м.
Для всех 40 с добавляется s₃ = 5 м/с · 10 с = 50 м, и общий путь равен 320 м (это значение приведено в ответе книги; видимо, в нём учтены все 40 с графика).
Почему так не бывает: на графике скорость изменяется скачком (с 7 до 10 м/с и с 10 до 5 м/с) мгновенно. Для изменения скорости требуется время: тело взаимодействует с другими телами, и скорость меняется постепенно (тело обладает инертностью). Поэтому реальный график скорости — плавные линии без скачков.
Ответ: за 30 с — 270 м; за 40 с — 320 м.
Оговорка: в книжном ответе указано 320 м, это путь за всё время графика (40 с); за 30 с по графику получается 270 м.
Задача для повторения 41. Тело начало движение из состояния покоя. Через 5 с его скорость достигла 10 м/с. Определите ускорение движения тела.
Дано: v₀ = 0; v = 10 м/с; t = 5 с.
Найти: a.
Решение: a = (v − v₀)/t = (10 м/с − 0) : 5 с = 2 м/с².
Ответ: a = 2 м/с².
Найти: a.
Решение: a = (v − v₀)/t = (10 м/с − 0) : 5 с = 2 м/с².
Ответ: a = 2 м/с².
Задача для повторения 42. Начальная скорость тела 20 м/с. Через 10 с она стала равна 5 м/с. Определите ускорение тела.
Дано: v₀ = 20 м/с; v = 5 м/с; t = 10 с.
Найти: a.
Решение: a = (v − v₀)/t = (5 − 20) м/с : 10 с = −1,5 м/с².
Знак «минус» означает, что ускорение направлено против скорости: тело замедляется (скорость уменьшается на 1,5 м/с каждую секунду).
Ответ: a = −1,5 м/с².
Найти: a.
Решение: a = (v − v₀)/t = (5 − 20) м/с : 10 с = −1,5 м/с².
Знак «минус» означает, что ускорение направлено против скорости: тело замедляется (скорость уменьшается на 1,5 м/с каждую секунду).
Ответ: a = −1,5 м/с².
Задача для повторения 43. Начальная скорость тела 4 м/с. Оно движется в течение 10 с с ускорением 1,5 м/с². Определите скорость тела к концу данного промежутка времени.
Дано: v₀ = 4 м/с; t = 10 с; a = 1,5 м/с².
Найти: v.
Решение: из a = (v − v₀)/t получаем v = v₀ + at = 4 м/с + 1,5 м/с² · 10 с = 4 + 15 = 19 м/с.
Ответ: v = 19 м/с.
Найти: v.
Решение: из a = (v − v₀)/t получаем v = v₀ + at = 4 м/с + 1,5 м/с² · 10 с = 4 + 15 = 19 м/с.
Ответ: v = 19 м/с.
Задача для повторения 44. Самолёт начинает движение на взлётной полосе с ускорением 3 м/с². Чему равна скорость самолёта через 10 с?
Дано: v₀ = 0 (самолёт начинает движение); a = 3 м/с²; t = 10 с.
Найти: v.
Решение: v = v₀ + at = 0 + 3 м/с² · 10 с = 30 м/с (= 108 км/ч).
Ответ: v = 30 м/с.
Найти: v.
Решение: v = v₀ + at = 0 + 3 м/с² · 10 с = 30 м/с (= 108 км/ч).
Ответ: v = 30 м/с.
Задача для повторения 45. Сравните движение двух тел, используя графики (рис. 205). Определите ускорения этих тел. [на рисунке 205: график v(t), оси: t, с — 2, 4, 6; v, м/с — 2, 4, 6, 8; прямая I (красная) идёт из точки (0; 1) через (2; 3), (4; 5) в точку (6; 7); прямая II (синяя) идёт из точки (0; 4) через (2; 5), (4; 6) в точку (6; 7); обе прямые пересекаются при t = 6 с, v = 7 м/с.]
Данные по графикам (рис. 205): тело I: v₀ = 1 м/с, при t = 6 с v = 7 м/с; тело II: v₀ = 4 м/с, при t = 6 с v = 7 м/с.
Сравнение: оба тела движутся прямолинейно равноускоренно (графики — наклонные прямые, скорость растёт одинаково за равные промежутки времени). У тела I начальная скорость меньше (1 м/с против 4 м/с), но скорость растёт быстрее, поэтому график I круче. В момент t = 6 с скорости равны (7 м/с); при t < 6 с быстрее движется тело II, при t > 6 с — тело I.
Ускорения: aI = (7 − 1) м/с : 6 с = 1 м/с²; aII = (7 − 4) м/с : 6 с = 0,5 м/с².
Ответ: aI = 1 м/с²; aII = 0,5 м/с².
Сравнение: оба тела движутся прямолинейно равноускоренно (графики — наклонные прямые, скорость растёт одинаково за равные промежутки времени). У тела I начальная скорость меньше (1 м/с против 4 м/с), но скорость растёт быстрее, поэтому график I круче. В момент t = 6 с скорости равны (7 м/с); при t < 6 с быстрее движется тело II, при t > 6 с — тело I.
Ускорения: aI = (7 − 1) м/с : 6 с = 1 м/с²; aII = (7 − 4) м/с : 6 с = 0,5 м/с².
Ответ: aI = 1 м/с²; aII = 0,5 м/с².