Глава 4. Работа и мощность. Энергия. § 57. Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики — с. 194
Упражнение 36. Задача 1. Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза. Объясните, почему применение такого блока не позволяет выиграть в 2 раза в работе.
Выигрыш в силе при использовании подвижного блока сопровождается проигрышем в расстоянии. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно вытянуть свободный конец верёвки на длину s = 2h, так как поднимаемый груз «повисает» на двух ветвях верёвки и каждая из них должна укоротиться на h. Если вес груза P, то сила, приложенная к свободному концу, F = P/2. Работа затраченная: A₁ = Fs = (P/2) · 2h = Ph. Работа по подъёму груза: A₂ = Ph. Они равны. Значит, выигрыша в работе нет: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии («золотое правило» механики). В реальном блоке из-за веса блока и трения затраченная работа даже немного больше полезной.
Упражнение 36. Задача 2. На какую высоту подняли груз с помощью подвижного блока, если свободный конец верёвки был вытянут при этом на 3 м?
Дано: s = 3 м (путь свободного конца).
Найти: h.
Решение: Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза, поэтому проигрыш в расстоянии тоже в 2 раза: s = 2h, откуда h = s/2.
h = 3 м / 2 = 1,5 м.
Ответ: груз подняли на 1,5 м.
Найти: h.
Решение: Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза, поэтому проигрыш в расстоянии тоже в 2 раза: s = 2h, откуда h = s/2.
h = 3 м / 2 = 1,5 м.
Ответ: груз подняли на 1,5 м.
Упражнение 36. Задача 3. Плечи рычага, находящегося в равновесии, соответственно равны 15 и 90 см. Меньшая сила, действующая на рычаг, равна 1,2 Н. Найдите большую силу. Какой выигрыш можно получить с помощью этого рычага в силе; в работе?
Дано: l₁ = 15 см; l₂ = 90 см; F₂ = 1,2 Н (меньшая сила).
СИ: l₁ = 0,15 м; l₂ = 0,9 м.
Найти: F₁ (большая сила); выигрыш в силе; выигрыш в работе.
Решение: Меньшая сила действует на большее плечо. Правило равновесия: F₁/F₂ = l₂/l₁, откуда F₁ = F₂l₂/l₁.
F₁ = 1,2 Н · 0,9 м / 0,15 м = 1,2 Н · 6 = 7,2 Н.
Выигрыш в силе: F₁/F₂ = 7,2/1,2 = 6 (в 6 раз; это отношение плеч l₂/l₁ = 90/15 = 6).
Выигрыш в работе: при повороте рычага точка приложения меньшей силы проходит путь в 6 раз больший (s₂ = 6s₁). Работы: A₁ = F₁s₁ = 7,2 Н · s₁; A₂ = F₂s₂ = 1,2 Н · 6s₁ = 7,2 Н · s₁. A₁ = A₂, значит выигрыш в работе равен нулю (выигрыша нет, отношение работ 1).
Ответ: большая сила 7,2 Н; выигрыш в силе в 6 раз; выигрыша в работе нет (0).
СИ: l₁ = 0,15 м; l₂ = 0,9 м.
Найти: F₁ (большая сила); выигрыш в силе; выигрыш в работе.
Решение: Меньшая сила действует на большее плечо. Правило равновесия: F₁/F₂ = l₂/l₁, откуда F₁ = F₂l₂/l₁.
F₁ = 1,2 Н · 0,9 м / 0,15 м = 1,2 Н · 6 = 7,2 Н.
Выигрыш в силе: F₁/F₂ = 7,2/1,2 = 6 (в 6 раз; это отношение плеч l₂/l₁ = 90/15 = 6).
Выигрыш в работе: при повороте рычага точка приложения меньшей силы проходит путь в 6 раз больший (s₂ = 6s₁). Работы: A₁ = F₁s₁ = 7,2 Н · s₁; A₂ = F₂s₂ = 1,2 Н · 6s₁ = 7,2 Н · s₁. A₁ = A₂, значит выигрыш в работе равен нулю (выигрыша нет, отношение работ 1).
Ответ: большая сила 7,2 Н; выигрыш в силе в 6 раз; выигрыша в работе нет (0).
Упражнение 36. Задача 4*. Какой выигрыш в силе можно получить при подъёме груза по наклонной плоскости с углом наклона 30° к горизонту?
Дано: α = 30°; трением пренебрегаем.
Найти: выигрыш в силе F₁/F₂ (F₁ = P — вес груза, F₂ — сила вдоль плоскости).
Решение: По «золотому правилу» механики выигрыш в силе равен проигрышу в расстоянии: F₁/F₂ = l/h, где l — длина плоскости, h — высота подъёма. Из прямоугольного треугольника h = l·sin α. Следовательно, l/h = 1/sin α = 1/sin 30° = 1/0,5 = 2.
Проверка по работам: Ph = F₂l, F₂ = Ph/l = P · 0,5 = P/2.
Ответ: выигрыш в силе в 2 раза (при подъёме груза вдоль плоскости с углом 30° нужна сила, равная половине веса груза); в расстоянии проигрыш также в 2 раза, выигрыша в работе нет.
Оговорка: без учёта трения; при трении выигрыш будет меньше.
Найти: выигрыш в силе F₁/F₂ (F₁ = P — вес груза, F₂ — сила вдоль плоскости).
Решение: По «золотому правилу» механики выигрыш в силе равен проигрышу в расстоянии: F₁/F₂ = l/h, где l — длина плоскости, h — высота подъёма. Из прямоугольного треугольника h = l·sin α. Следовательно, l/h = 1/sin α = 1/sin 30° = 1/0,5 = 2.
Проверка по работам: Ph = F₂l, F₂ = Ph/l = P · 0,5 = P/2.
Ответ: выигрыш в силе в 2 раза (при подъёме груза вдоль плоскости с углом 30° нужна сила, равная половине веса груза); в расстоянии проигрыш также в 2 раза, выигрыша в работе нет.
Оговорка: без учёта трения; при трении выигрыш будет меньше.